Длина канторовой лестницы

[zaman]

Здравствуйте, пытался найти длину канторовой лестницы, но не получается вовсе. Помогите, пожалуйста.

[ИСН]

Как лестницу строили?

[zaman]

ИСН в сообщении #735649 писал(а):

Как лестницу строили?

разбивали на 3 части, во второй части полагали, что функция равна среднему арифметическому концов, остальные части так же разбивали на три части и так далее

[Legioner93]

Посчитайте длину ломанной, образованной точками с $x=0,\frac{1}{3^k},\frac{2}{3^k},\cdots,\frac{3^k -2}{3^k},\frac{3^k -1}{3^k},1$

[ewert]

zaman в сообщении #735646 писал(а):

пытался найти длину канторовой лестницы, но не получается вовсе.

Для начала вспомните, что такое длина вообще, и прикиньте, чего эта длина заведомо не превосходит.

[svv]

Попробуйте понять идею из рисунка.

[zaman]

svv в сообщении #735843 писал(а):

Попробуйте понять идею из рисунка.

у нас на 1 этапе выделяем отрезок длиной 1/3, потом 2 отрезка длиной 1/9, потом 4 отрезка длиной 1/27 и т.д.
нашел сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии равной 1.
дальше, т.к. у нас нет наклонных(производная везде равна нулю), то высота равна 1, итого длина 2.
правильно ли я посчитал?

[ewert]

zaman в сообщении #735850 писал(а):

правильно ли я посчитал?

Посчитали правильно, но ничего не доказали. В частности, вот эта фраза

zaman в сообщении #735850 писал(а):

у нас нет наклонных(производная везде равна нулю),

не несёт в себе никакой смысловой нагрузки.

[ИСН]

Вообразите функцию, которая на первой половине отрезка равна 1/2, на следующей четверти - 3/4, на следующей осьмушке - ещё на осьмушку выше, и т.д. К ней применимо всё, что Вы говорите (длина горизонтальных участков тоже в сумме выходит 1, а наклонных вообще нет), однако - - -

[svv]

zaman, наверное, имел в виду, что у наклонных постепенно исчезает наклон, они приближаются к вертикали, их суммарная проекция на ось $x$ стремится к нулю (при том, что их суммарная проекция на ось $y$ равна $1$ на любой итерации).

[ewert]

Все эти сантименты -- конечно, хорошо для угадывания результата; однако начинать решение следует всё-таки с определения длины кривой.

[zaman]

svv в сообщении #735871 писал(а):

zaman, наверное, имел в виду, что у наклонных постепенно исчезает наклон, они приближаются к вертикали, их суммарная проекция на ось $x$ стремится к нулю (при том, что их суммарная проекция на ось $y$ равна $1$ на любой итерации).

да, это

ewert в сообщении #735881 писал(а):

однако начинать решение следует всё-таки с определения длины кривой.

длина кривой - это точная верхняя граница для периметров вписанных в кривую ломаных

[ewert]

zaman в сообщении #735886 писал(а):

длина кривой - это точная верхняя граница для периметров вписанных в кривую ломаных

Замечательно. Вот и докажите формально, что а) угаданное Вами число действительно является верхней границей и б) что к этой границе по каким-нибудь ломаным действительно можно сколь угодно приблизиться.

[zaman]

ИСН в сообщении #735866 писал(а):

Вообразите функцию, которая на первой половине отрезка равна 1/2, на следующей четверти - 3/4, на следующей осьмушке - ещё на осьмушку выше, и т.д. К ней применимо всё, что Вы говорите (длина горизонтальных участков тоже в сумме выходит 1, а наклонных вообще нет), однако - - -

я имел ввиду, что лестница проходит через все значения у от 0 до 1

-- 12.06.2013, 16:26 --

ewert в сообщении #735889 писал(а):

zaman в сообщении #735886 писал(а):

длина кривой - это точная верхняя граница для периметров вписанных в кривую ломаных

Замечательно. Вот и докажите формально, что а) угаданное Вами число действительно является верхней границей и б) что к этой границе по каким-нибудь ломаным действительно можно сколь угодно приблизиться.

а) длина не может быть больше 2, т.к. в этом случае у нас будет хотя бы 1 точка где одному х соответствует 2 значения у, ну или наоборот