Математическая индукция

[Gts]

TOTAL в сообщении #735451 писал(а):

Gts в сообщении #735448 писал(а):

Где там доказывается "Доказали, что за верным утверждением может стоять только верное утверждение"?

Вот где

Цитата:

Далее, опираясь на сделанное допущение, пытаются доказать правильность формулы (1) для числа на единицу большего, то есть для $n = N + 1$. В данном случае достаточно присоединить к сумме в левой части равенства (2) ещё одно слагаемое: $(2N + 1)$; тогда и правая часть равенства должна увеличиться на $(2N +1)$ и, следовательно,
$1 + 3 + 5 + ... + (2N - 1) + (2N + 1) = N^2 + (2N + 1) = (N + 1)^2$.

Но тот же результат получится, если в формуле (1) заменить $n$ на $N + 1$.
Итак, из справедливости формулы (1) при $n = N $вытекает (каково бы ни было $N$) её правильность и при $n = N + 1$.

Хотя доказательство подобного вида пока вызывает у меня сомнение, я надеюсь, что если разберусь с нижеследующим, то приму данное доказательство. Мне совершенно не понятно почему формула (1) стала справедливой для данного ряда суммы, если мы сами значения ряда туда не подставляли.



Внесём несколько намеренных ошибок в эту цитату:

Цитата:

Пусть, например, требуется доказать для любого натурального (целого положительного) числа $n$ формулу:
$ 1 + 3 + 5 + ... + n = \frac {n(n+1)} {2} $ (1)

При $n = 1$ эта формула даёт $ \frac {1(1+1)} {2} = 1$. Чтобы доказать правильность формулы при любом $n$, допускают, что её уже удалось доказать для некоторого определённого числа $N$, то есть предполагают, что
$ 1 + 3 + 5 + ... + N = \frac {N(N+1)} {2}. $ (2)

Далее, опираясь на сделанное допущение, пытаются доказать правильность формулы (1) для числа на единицу большего, то есть для $n = N + 1$. В данном случае достаточно присоединить к сумме в левой части равенства (2) ещё одно слагаемое: $(N + 1)$; тогда и правая часть равенства должна увеличиться на $(N +1)$ и, следовательно,
$1 + 3 + 5 + ... + N + (N + 1) = \frac {N(N+1) + 2(N + 1)} {2} = \frac {(N+1)(N+2)} {2} $.

Но тот же результат получится, если в формуле (1) заменить $n$ на $N + 1$.
Итак, из справедливости формулы (1) при $n = N $вытекает (каково бы ни было $N$) её правильность и при $n = N + 1$. Но при$ n = 1$ формула (1) верна, следовательно, она верна также и при $n = 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 4 = 3 + 1, 5 = 4 + 1$ и так далее. Так как последовательным прибавлением единицы можно получить (начиная с единицы) любое натуральное число, то формула (1) действительно верна при любом натуральном числе $ n$.

Как для меня выглядит эта цитата теперь? Я вижу следующее:

Цитата:

1) Первое утверждение верно (т.к. просто проверили)
2) Доказали, что за верным утверждением может стоять только верное утверждение

В чём я не прав?

Товарищи, видя моё непонимание данного вопроса, может быть посоветуете что-то к книге Куранта и Роббинса почитать? Что-то типа букваря по логике...

[Shadow]

Если Вы сумируете только нечетные числа (у Вас N видимо нечетное), при индукционном переходе следующий елемент должен быть $N+2$
$1+3+5+\cdots N + (N+2)$

[TOTAL]

Gts в сообщении #735702 писал(а):

Товарищи, видя моё непонимание данного вопроса, может быть посоветуете что-то к книге Куранта и Роббинса почитать? Что-то типа букваря по логике...

Почитайте что-нибудь.