Помогите, пожалуйста, взять коммутатор.

[Widia]

Добрый вечер!
Уже долго бьюсь, но не как не могу взять два верхних коммутатора http://yadi.sk/d/SK5AbZen4Wg6y
Или хотя бы посоветуйте как избавиться от рациональности в виде корня (уже и в ряд разлагал и брал корень от дроби возведенной в квадрат...).

[espe]

Так правильно?

$$\left[\dfrac{1}{|x|},\omega\right]=-\dfrac{i}{|x|^2}\qquad\qquad\left[\dfrac{1}{|x|},\dfrac{1}{\omega}\right]=\dfrac{1}{\omega}\;\dfrac{i}{|x|^2}\;\dfrac{1}{\omega}$$

Откуда такие коммутаторы взялись? Особенно второй.

[Widia]

espe, очень Вам признателен.
А не могли бы вы показать как-нибудь вывод, давший такие результаты? Если можно, то просто снять на телефон черновики и скинуть на мою почту. Это гораздо проще, чем оформлять здесь на форуме. Я подозреваю, что выводы были громоздкие, но очень хочется взглянуть.
Заранее спасибо!

-- 03.05.2013, 19:43 --

У меня как-то получался знаменатель, как у Вас во втором коммутаторе, но как мог тот числитель свернуться в i... Очень прошу показать выводы.

[espe]

Я не знаю какое решение предполагал составитель задач, но я решал так.

Корень извлекал старым дедовским дираковским способом (англ., рус.)

$$\omega=\sqrt{\vec{p}^2+m^2}=\alpha_ip_i+\beta m\qquad\qquad\alpha_i\alpha_j+\alpha_j\alpha_i=2\delta_{ij}\qquad\qquad\alpha_i\beta+\beta\alpha_i=0\qqua\qquad\beta^2=1$$

Также имеем равенство $(\alpha_i x_i)^2=|x|^2$, т.е. $\alpha_i x_i=|x|$.

Теперь считаем первый коммутатор

$$\left[\frac{1}{|x|},\omega\right]=\alpha_i\left[\frac{1}{|x|},p_i\right]=-\frac{i\alpha_i x_i}{|x|^3}=-i\frac{|x|}{|x|^3}=-\frac{i}{|x|^2}$$

Теперь второй коммутатор. Имеем тождество $\omega\dfrac{1}{\omega}=1$. Дальше так

$$0=\left[\frac{1}{|x|},1\right]=\left[\frac{1}{|x|},\omega\dfrac{1}{\omega}\right]=\omega\left[\frac{1}{|x|},\dfrac{1}{\omega}\right]+\left[\frac{1}{|x|},\omega\right]\dfrac{1}{\omega}=\omega\left[\frac{1}{|x|},\dfrac{1}{\omega}\right]-\frac{i}{|x|^2}\dfrac{1}{\omega}=0$$

Отсюда получаем

$$\omega\left[\frac{1}{|x|},\dfrac{1}{\omega}\right]=\frac{i}{|x|^2}\dfrac{1}{\omega}$$

Умножаем слева на $\dfrac{1}{\omega}$ и получаем ответ

$$\left[\frac{1}{|x|},\dfrac{1}{\omega}\right]=\dfrac{1}{\omega}\frac{i}{|x|^2}\dfrac{1}{\omega}$$

[Widia]

espe, спасибо огромное!
Вы мне очень помогли!

[Widia]

У меня здесь получается одна неувязка. Изначально обе части этих коммутаторов находятся в представлении Фолди-Воутхойзена. Выше описанный вариант решения предполагает перевести оператор энергии обратно в представление Дирака. Решение действительно получается очень компактным, но при этом вторая часть коммутатора остается в представлении ФВ. На сколько корректно такое решение для коммутатора с разным представлением компонентов?
Попытка применить к 1/|x| оператор преобразования ФВ дает громоздкий выход с ирациональностями в виде корней.
Может подскажете какой-нибудь выход?

[espe]

А где здесь видно какое представление используется? И вообще (пусть будет имхо), коммутационные соотношения не зависят от представления. Например коммутатор $[\hat{x}^i,\hat{p}_j]=i\hbar\delta^i_j$ одинаков при использовании любого представления.

[Munin]

espe в сообщении #732133 писал(а):

И вообще (пусть будет имхо), коммутационные соотношения не зависят от представления.

Вот я почитал, что такое Фолди-Воутхойзен (Foldy-Wouthuysen), и что-то засомневался в этом тезисе. Не уверен, но может быть, там и смысл операторов несколько другой...

[Widia]

espe, при выводе второго коммутатора, мне думается, вы слишком легко вынесли за скобки омегу влево, а единицу на омегу вправо. Полагаю, что дифоператор зашитый в омеге нельзя просто так перекидывать через координату в виде единица на модуль икс.
Но все равно ваш ход мысли мне очень помог.

[espe]

Это стандартная формула для коммутаторов, которая легко доказывается

$$[A,BC]=ABC-BCA=ABC-BAC+BAC-BCA=(AB-BA)C+B(AC-CA)=[A,B]C+B[A,C]$$

[Widia]

Извиняюсь, просмотрел...
Сам пользуюсь ими. Что-то протупил.

[lucien]

espe в сообщении #719409 писал(а):

Я не знаю какое решение предполагал составитель задач, но я решал так.

Но это решение явно не правильное. По определению, оператор $\omega$ коммутирует с любой матрицей, что у Вас не вполняется. Коммутатор нужно вычислять так.

$$ [1/r,\omega]=r^{-1}\hat{\omega}-\hat{\omega}r^{-1}=-\omega\int\frac{4\pi e^{i\vec{p}\vec{r}}}{p^2}\frac{d^3p}{(2\pi)^3} $$

Выражение с интегралом это фурье представление $1/r$. Действие $\omega$ на плоскую волну очевидно

$$ [1/r,\omega]=-\int\frac{4\pi e^{i\vec{p}\vec{r}}\sqrt{p^2+m^2} }{p^2}\frac{d^3p}{(2\pi)^3} $$

Оставтся вычислить этот интеграл. Без спецфункций не обойтись.

-- 12.06.2013, 14:12 --

Если не ошиблась, коммутатор равен интегралу

$$ \frac{2}{\pi r^2}\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}\,\sqrt{x^2+m^2r^2}\,dx $$

Вроде, это сводится к цилиндрическим функциям...
Аналогично для второго коммутатора

$$ [1/r,1/\omega]=-\frac{2}{\pi}\int_0^\infty\frac{\sin x}{x\sqrt{x^2+m^2r^2}}\,dx $$

[espe]

Непонятно написано. Давайте по порядку.

lucien в сообщении #735835 писал(а):

По определению, оператор $\omega$ коммутирует с любой матрицей, что у Вас не вполняется.

Вот определение оператора $\hat{\omega}=\sqrt{\hat{p}_1^2+\hat{p}_2^2+\hat{p}_3^2+m^2}.$ С какими «любыми матрицами» он коммутирует? Непонятно, что Вы имеете ввиду. Ясно, что существуют операторы с которыми он не коммутирует. Поясните.

Дальше. Определение опреатора $\widehat{|x|}=\sqrt{\hat{x}_1^2+\hat{x}_2^2+\hat{x}_3^2}$. Вы делаете «фурье представление» для оператора $\widehat{|x|^{-1}}.$ Напишите формулу для «фурье представления» оператора $\widehat{|x|^{-1}}=???$ явно.

[lucien]

Что такое матрицы прочитайте в учебнике по линейной алгебре. Про оператор координаты в координатном представлении читайте в ЛЛ3. Про фурье преобразования можно прочитать в курсе матанализа. Останутся вопросы -- обращайтесь.

[zask]

lucien в сообщении #736188 писал(а):

Что такое матрицы прочитайте в учебнике по линейной алгебре. Про оператор координаты в координатном представлении читайте в ЛЛ3. Про фурье преобразования можно прочитать в курсе матанализа. Останутся вопросы -- обращайтесь.

А не подскажете, где прочитать что такое буквы?