Нечетные совершенные числа.

[Батороев]

На вопрос:
"Существуют ли нечетные совершенные числа?"
мне ответили здесь так:

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Вот здесь указано, что все нечетные совершенные должны иметь вид $p^aq_1^{2k_1}..q_r^{2k_r}$, где $p\equiv a \equiv 1 \mod 4$ и $k_i$ не могут быть все равны 1, здесь $p,q_i$ - нечетные простые.

Если рассмотреть число:
$ N = p^aq_1^{2k_1}..q_r^{2k_r}$, (1)
где $p,q_i$ - нечетные простые,
то, чтобы оно было совершенным, необходимо, чтобы выполнялось равенство:
$ N = p^aq_1^{2k_1}..q_r^{2k_r} = p^{a-1}q_1^{2k_1}..q_r^{2k_r} + p^{a-2}q_1^{2k_1}..q_r^{2k_r} + p^{a-3}q_1^{2k_1}..+ q_r^{2k_r} + ..... + p + q_1 + q_2 + ... + q_r + 1$ (2)


Рассмотрим выражение:
$ M = (p^a + p^{a-1} + ... + p + 1)(q_1^{2k_1} + q_1^{2k_1-1} + ... + q_1 + 1)...(q_r^{2k_r} + q_r^{2k_r-1} + .... + q_r + 1) $ (3)

Раскрыв скобки, получаем:
$ M = p^aq_1^{2k_1}..q_r^{2k_r} + (p^{a-1}q_1^{2k_1}..q_r^{2k_r} + p^{a-2}q_1^{2k_1}+..+q_r^{2k_r} + p^{a-3}q_1^{2k_1} +...+ q_r^{2k_r} + ..... + p + q_1 + q_2 + ... + q_r + 1) $ (4)

или
$ M = 2N $ (5)

Отсюда:
$ N = \frac{(p^a + p^{a-1} + ... + p + 1)}{2} (q_1^{2k_1} + q_1^{2k_1-1} + ...+ q_1 + 1)...(q_r^{2k_r} + q_r^{2k_r-1} + .... + q_r + 1) $ (6)

Т.к. в рекомендациях есть требование:
$ p\equiv a\equiv 1(mod 4) $,
то можно записать так:

$ N = \frac{p + 1}{2} (p^{a-1} + p^{a-3} + ...+ p^2 + 1)(q_1^{2k_1} + q_1^{2k_1-1} + ...+ q_1 + 1)...(q_r^{2k_r} + q_r^{2k_r-1} + .... + q_r + 1) $, (7)

следовательно, рекомендации можно было бы дополнить сравнением:

$ N\equiv 0 (mod\frac{p+1}{2}) $ (8)

[maxal]

Батороев писал(а):

следовательно, рекомендации можно было бы дополнить сравнением:

$ N\equiv 0 (mod\frac{p+1}{2}) $ (8)

Это все очевидно и тривиально. Можно было просто написать, что
$N\equiv 0\pmod{\frac{p^{a+1}-1}{2(p-1)}}$
Числа типа $\frac{p+1}{2}$, $p^{(a+1)/2}+1$, $\frac{p^{(a-1)/2}-1}{2(p-1)}$ и т.п. являются делителями числа $\frac{p^{a+1}-1}{2(p-1)}$.
Только проку от этих измышлений особого нет.

[Батороев]

maxal писал(а):

Батороев писал(а):

следовательно, рекомендации можно было бы дополнить сравнением:

$ N\equiv 0 (mod\frac{p+1}{2}) $ (8)

Это все очевидно и тривиально. Можно было просто написать, что
$N\equiv 0\pmod{\frac{p^{a+1}-1}{2(p-1)}}$
Числа типа $\frac{p+1}{2}$, $p^{(a+1)/2}+1$, $\frac{p^{(a-1)/2}-1}{2(p-1)}$ и т.п. являются делителями числа $\frac{p^{a+1}-1}{2(p-1)}$.
Только проку от этих измышлений особого нет.

Посмотрев в ссылке условия (рекомендации), которым должно удовлетворять нечетное число N, чтобы оно могло быть совершенным, я не нашел той, что предлагаю.
Вместе с тем, исследователь, который ищет среди нечетных чисел совершенное число, а таких, по-видимому, немало (судя по таблице в самой ссылке WolframMathWorld), мог бы отсечь предлагаемым сравнением большую часть проверяемых чисел, не тратя на них усилия. Вот и весь прок.
Сам искать такие числа я не собирался.

Если Ваши сравнения эффективнее, то, может быть, следует внести именно их в рекомендации.
Хотя, излишняя сложность, как мне кажется, может наоборот затруднить труд упомянутых исследователей.
Ведь можно потребовать и проверки:
$ N\equiv 0 (mod (q_1^{2k_1} + q_1^{2k_1-1} +...q_1 + 1)) $ и т.д.
Поэтому я ограничился, как мне кажется, самой простой.

[maxal]

Батороев писал(а):

Посмотрев в ссылке условия (рекомендации), которым должно удовлетворять нечетное число N, чтобы оно могло быть совершенным, я не нашел той, что предлагаю.

Потому что ваше условие несущественно и легко выводится из других.

Батороев писал(а):

Вместе с тем, исследователь, который ищет среди нечетных чисел совершенное число, а таких, по-видимому, немало (судя по таблице в самой ссылке WolframMathWorld), мог бы отсечь предлагаемым сравнением большую часть проверяемых чисел, не тратя на них усилия.

Исследователь, который ищет среди нечетных чисел совершенное число, прежде всего читает статьи по тематике в реферируемых журналах и не аппелирует к MathWorld как к истине в последней инстанции.

[Батороев]

maxal писал(а):

ваше условие несущественно и легко выводится из других.

Другие упомянутые условия выводятся еще легче (кроме рекомендаций Yamada, которые я не разбирал) и что?
Зачем-то они в MathWorld присутствуют?

maxal писал(а):

Исследователь, который ищет среди нечетных чисел совершенное число, прежде всего читает статьи по тематике в реферируемых журналах и не аппелирует к MathWorld как к истине в последней инстанции.

А для кого тогда это все в MathWorld пишется?
Для "чайников" - как информация о тех, кто читает только реферируемые журналы?
Тогда в таком издании все тривиальные вещи обязаны быть!
Хотя, никуда дальше данного форума свои выкладки закидывать я и не собирался.

[незваный гость]

Батороев писал(а):

А для кого тогда это все в MathWorld пишется?

mathworld не претендует на обзор современного состояния предмета. Это — энциклопедия, т.е. обзор базовых фактов. В частности, именно поэтому ссылаться на то, что чего-то в mathworld нет, глупо. Может, еще не попало.

Кстати, mathworld не wiki. Он редактируется небольшой командой (может, одним человеком) и необходимо медленный.

[Батороев]

незваный гость писал(а):

:evil:

Батороев писал(а):

А для кого тогда это все в MathWorld пишется?

mathworld не претендует на обзор современного состояния предмета. Это — энциклопедия, т.е. обзор базовых фактов. В частности, именно поэтому ссылаться на то, что чего-то в mathworld нет, глупо. Может, еще не попало.

Не уверен, что, если кто-то отметил отсутствие того или иного факта,
пусть даже, в энциклопедическом издании,
то это можно отнести к категории "глупо".

Так ли важен упомянутый мной факт?
На мой взгляд, важный. На взгляд maxal'a - нет.
Ну, на то и дискуссия.

Моя точка зрения основывается на том, что упомянутое свойство присуще всем совершенным числам.
Для четных оно напрямую вытекает из формулы Евклида,
а для нечетных оно немного, но завуалировано.
Поэтому, наверное, имеет смысл показать это свойство в явном виде.
Что я и сделал.
Естественно, не для маститых форумчан,
а больше - для остальных.

p.s. Кроме того, представление числа N в виде (1) и (6) мне показалось интересным само по себе.

незваный гость писал(а):

Кстати, mathworld не wiki. Он редактируется небольшой командой (может, одним человеком) и необходимо медленный.

Что такое - "необходимо медленный" - в смысле, вынужденно медленный?

[незваный гость]

Батороев писал(а):

Не уверен, что, если кто-то отметил отсутствие того или иного факта, пусть даже, в энциклопедическом издании, то это можно отнести к категории "глупо".

Извините, пожалуйста, если я резче, чем следует. Я не имел в виду больше того, что нельзя ожидать от энциклопедии указания всего объема знаний, тем более — соответствующих текущему моменту.

Батороев писал(а):

Что такое - "необходимо медленный" - в смысле, вынужденно медленный?

Это значит, что он не может в принципе быть быстрым.

[Батороев]

незваный гость писал(а):

:evil:
Я не имел в виду больше того, что нельзя ожидать от энциклопедии указания всего объема знаний, тем более — соответствующих текущему моменту.

Перечитал еще раз Ваше предыдущее сообщение и соглашусь с тем, что неправильно уловил его смысл.
Извините.

[Батороев]

Батороев писал(а):

Если рассмотреть число:
$ N = p^aq_1^{2k_1}..q_r^{2k_r}$, (1)
где $p,q_i$ - нечетные простые,
то, чтобы оно было совершенным, необходимо, чтобы выполнялось равенство:
$ N = p^aq_1^{2k_1}..q_r^{2k_r} = p^{a-1}q_1^{2k_1}..q_r^{2k_r} + p^{a-2}q_1^{2k_1}..q_r^{2k_r} + p^{a-3}q_1^{2k_1}..+ q_r^{2k_r} + ..... + p + q_1 + q_2 + ... + q_r + 1$ (2)


Рассмотрим выражение:
$ M = (p^a + p^{a-1} + ... + p + 1)(q_1^{2k_1} + q_1^{2k_1-1} + ... + q_1 + 1)...(q_r^{2k_r} + q_r^{2k_r-1} + .... + q_r + 1) $ (3)

Раскрыв скобки, получаем:
$ M = p^aq_1^{2k_1}..q_r^{2k_r} + (p^{a-1}q_1^{2k_1}..q_r^{2k_r} + p^{a-2}q_1^{2k_1}+..+q_r^{2k_r} + p^{a-3}q_1^{2k_1} +...+ q_r^{2k_r} + ..... + p + q_1 + q_2 + ... + q_r + 1) $ (4)

или
$ M = 2N $ (5)

Отсюда:
$ N = \frac{(p^a + p^{a-1} + ... + p + 1)}{2} (q_1^{2k_1} + q_1^{2k_1-1} + ...+ q_1 + 1)...(q_r^{2k_r} + q_r^{2k_r-1} + .... + q_r + 1) $ (6)

Таким образом, чтобы число N было совершенным, необходимо, чтобы соблюдалось равенство:
$ p^aq_1^{2k_1}..q_r^{2k_r} = \frac{(p^a + p^{a-1} + ... + p + 1)}{2} (q_1^{2k_1} + q_1^{2k_1-1} + ...+ q_1 + 1)...(q_r^{2k_r} + q_r^{2k_r-1} + .... + q_r + 1) $ (9)

Но может ли такое равенство выполняться для N нечетных?

Если обозначить:
$ A = (q_1^{2k_1} + q_1^{2k_1-1} + ...+ q_1 + 1)...(q_r^{2k_r} + q_r^{2k_r-1} + .... + q_r + 1) $,
то это число должно делиться на $ p $
(т.к. $ \frac{(p^a + p^{a-1} + ... + p + 1)}{2} $ на $ p $ не делится).


Перепишем (9) следующим образом:
$ 2 p^aq_1^{2k_1}..q_r^{2k_r} = (p^a + p^{a-1} + ... + p)A + A $
или
$ 2 p^aq_1^{2k_1}..q_r^{2k_r} = p(p^{a-1} + p^{a-2} + ... + p + 1)A + A $ (10)

Из (10) видно, что кратность A по отношению к p должна быть $ p^1 $ (11)



Перепишем (9) способом, отличным от (10):
$ 2 p^aq_1^{2k_1}..q_r^{2k_r} = p^2(p^{a-2} + p^{a-3} + ... + p + 1)A + (p+1)A $ (12)

Из (12) получаем, что теперь кратность A по отношению к p должна быть $ p^a $ (13)
(т.к. $ (p+1) $ на $ p $ не делится).

Неразрешимость следствий ( 11) и (13) справедлива для всех других множителей нечетного числа N, т.е. и для $ q_i $.
У четных чисел кратность двойке "поддерживается" множителем $ (p+1) = (2^n-1)+1 = 2^n $ (обозначения из формулы Евклида).

Таким образом, нечетное число вида $ N = p^aq_1^{2k_1}..q_r^{2k_r}$ совершенным быть не может.

Почему нечетное число вида $ N = pq_1..q_r $ быть совершенным не может, по-видимому, доказано кем-то ранее.




И все-таки, я нашел и утвердительный ответ на вопрос:

Батороев писал(а):

"Существуют ли нечетные совершенные числа?"

Это - 1!

[maxal]

Батороев писал(а):

$ 2 p^aq_1^{2k_1}..q_r^{2k_r} = p(p^{a-1} + p^{a-2} + ... + p + 1)A + A $ (10)

Из (10) видно, что кратность A по отношению к p должна быть $ p^1 $ (11)

Из (10) следует, что A делится на $p^a$.

Батороев писал(а):

Таким образом, нечетное число вида $ N = p^aq_1^{2k_1}..q_r^{2k_r}$ совершенным быть не может.

Увы, ваше "доказательство" неверно.

Батороев писал(а):

И все-таки, я нашел и утвердительный ответ на вопрос:

Батороев писал(а):

"Существуют ли нечетные совершенные числа?"

Это - 1!

С каких это пор $n=1$ стало удовлетворять равенству $\sigma(n)=2n$ ?

[Батороев]

Да-с-с!
Оккконфузился!
Я понял свою ошибку, но было уже поздно. Слишком быстро Вы ответили.

Что такое $\sigma(n)=2n$?
Я встречал только то, что "совершенное число должно быть равно сумме делителей".

[maxal]

Батороев писал(а):

Что такое $\sigma(n)=2n$?

Сумма всех делителей $n$ равна $2n.$

Батороев писал(а):

Я встречал только то, что "совершенное число должно быть равно сумме делителей".

Это неверно. В такой формулировке должно быть:
"совершенное число равно сумме своих делителей, отличных от самого этого числа".
И 1 этому определению также не удовлетворяет.

[Батороев]

Maxal
Спасибо за доходчивое разъяснение.

Но хочу Вас спросить еще вот о чем:

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Вот здесь указано, что все нечетные совершенные должны иметь вид $p^aq_1^{2k_1}..q_r^{2k_r}$, где $p\equiv a \equiv 1 \mod 4$ и $k_i$ не могут быть все равны 1, здесь $p,q_i$ - нечетные простые.

Как правильно трактовать:
Все $ k_i $ не могут быть равны 1
или могут быть равны 1, но не все?

И еще:
Почему не указывается требование $ r\neq 1 $ (или $ r > 1 $)?
Неужели, и оно - несущественно?

[незваный гость]

Батороев писал(а):

Все $ k_i $ не могут быть равны 1

Буквально: $\exists j: k_j \not = 1$.

Батороев писал(а):

Почему не указывается требование $ r\neq 1 $ (или $ r > 1 $)?
Неужели, и оно - несущественно?

“In 1887, Sylvester conjectured and in 1925, Gradshtein proved that any odd perfect number must have at least six distinct prime factors”

Т.е. $r >4$. Как видите, этот факт тоже довольно давно известен. И упоминается в той же статье (наряду с более сильными).