[Функан (упражнение)]. Проекторы

[truestyle]

про кривую больше ничего не сказано. когда осуществляется переход к повторному, мы заменяем интеграл по двум кривым на контур который их покрывает? а резольвента будет аналитична в этой области?

[Otta]

Что вообще сказано? Замкнута-незамкнута, что известно про оператор. Непрерывность, замкнутость, компактность, что-нибудь еще?

truestyle в сообщении #735037 писал(а):

мы заменяем интеграл по двум кривым на контур который их покрывает?

Зачем? Так и продолжаем считать. Вы понимаете, зачем они нужны, и зачем нужны разные? Почему не взяли одинаковые?

Тут проблемы нет, проблема не в этом.

[truestyle]

про кривую известно только то,что отделяет два множества, которые в объединении дают спектр.
как я понял, мы берем разные кривые,чтобы составить контур как раз.

[Otta]

truestyle в сообщении #735069 писал(а):

как я понял, мы берем разные кривые,чтобы составить контур как раз.

Нет, Вы неверно поняли. Вот что значит не самому додумываться.

truestyle в сообщении #735069 писал(а):

про кривую известно только то,что отделяет два множества, которые в объединении дают спектр.

А давайте попробуем. Возьмите диагональную матрицу порядка 2, на главной диагонали 1 и -1. Спектр у нее понятно какой. В качестве кривой $C$ выберите мнимую ось. Посмотрите, что получится. Просто в явном виде попробуйте посчитать оператор.

[truestyle]

получился оператор $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

[ewert]

truestyle в сообщении #735069 писал(а):

про кривую известно только то,что отделяет два множества,

Этого мало.

Замкнём кривую в один контур -- получим некий проектор.

Замкнём в другую -- получим совершенно другой проектор, да ещё и с минусом.

Не будем вообще ничего замыкать -- так ровно нихрена и не получим.

[truestyle]

я не очень понял, что после применения интегральной теоремы Коши мы должны получить как будет выглядеть оператор $P^2$ ? а он не будет равен 0?

[Otta]

truestyle в сообщении #735085 писал(а):

получился оператор $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Мне б так считать. )
Откуда?

-- 10.06.2013, 23:41 --

truestyle

truestyle в сообщении #735108 писал(а):

я не очень понял, что после применения интегральной теоремы Коши мы должны получить

Вы не поняли, что Вы интегрируете, как интегрируете и зачем.
Давайте так.
Составьте самостоятельно квадрат $P$.

[truestyle]

$ \frac{1}{2i\pi}\iint_{C}R(\lambda)R(\mu)d(\lambda)d(\mu)=- \frac{1}{2i\pi}\iint_{C}\frac{ R(\lambda)-R(\mu)}{\lambda-\mu}d(\lambda)d(\mu)$

[Otta]

Интеграла два, каждый надо написать по какому множеству.

[truestyle]

$ \frac{1}{2i\pi}\iint_{C,C+i\varepsilon}R(\lambda)R(\mu)d(\lambda)d(\mu)=- \frac{1}{2i\pi}\iint_{C,C+i\varepsilon}\frac{ R(\lambda)-R(\mu)}{\lambda-\mu}d(\lambda)d(\mu)$ так?

[Otta]

truestyle
Нет, это Вы пытаетесь написать то, с чем не знаете, что делать, поскольку не знаете, откуда оно и зачем взялось. А и действительно, оно уже рукотворное.
Попробуйте написать определение "в лоб". Наша цель: понять, зачем, с какой целью сдвигается этот контур. Вот не думая об этом сдвиге, попробуйте. Что получится?

[truestyle]

Otta в сообщении #735206 писал(а):

truestyle
Нет, это Вы пытаетесь написать то, с чем не знаете, что делать, поскольку не знаете, откуда оно и зачем взялось. А и действительно, оно уже рукотворное.
Попробуйте написать определение "в лоб". Наша цель: понять, зачем, с какой целью сдвигается этот контур. Вот не думая об этом сдвиге, попробуйте. Что получится?

$ \frac{1}{2i\pi}\iint_{C,C}R(\lambda)R(\mu)d(\lambda)d(\mu)$ написал в "лоб", чему равно не понятно

[Otta]

А это пока не входит в нашу цель. Примените здесь резольвентное тождество и попробуйте осознать, почему интеграл нельзя бросать в таком виде. (Т.е. зачем понадобился сдвиг).

[truestyle]

если не сдвигать, то интеграл разбивается на два и в итоге равен нулю.