Функан(помогите пожалуйста разобраться)

[Apacho]

Показать что свойство непрерывности отображений f:$ R^n \rightarrow R^m$ эквивалентны тому что $f^-1(U)$ $ \subset R^n$ открыто для любого открытого $ U \subset R^m$

док - во: f:$ R^n \rightarrow R^m$ f - непрер = для любого $x \in R^n$ выполняеться для любого $\epsilon > 0 $ выполняеться $f^-1 (I_\epsilon(f(x))) \supset I_\delta$ где $I_\epsilon$ - шар
Рассмотрим $f^-1(U)$ если $u \in f^-1(U) \leftrighttarrow f(u) \in U $, U-открыто то $I_\epsilon (f(u)) \subset U$ $\righttarrow f^-1 (I_\epsilon (f(x))) \subset f^-1 (U)$

подскажите пожалуйста ход рассуждений правильный если нет подскажи или посоветуйте хороший учебник по этой теме

[Otta]

Apacho в сообщении #734703 писал(а):

выполняеться $f^-1 (I_\varepsilon(f(x))) \supset I_\delta$

Это не то же самое, что $f(I_\delta(x))\subset I_\varepsilon (f(x))$. Тем более Вы вообще не пишете точку, окрестность которой берете.

Во-первых, пишите произвольные окрестности, Вам будет легче (не эпсилон-дельта), во-вторых, Вашим рассуждениям очень не хватает кванторов. Как только они появятся, жизнь преобразуется. Может быть. Доказательство простое, надо просто чётко (не забывая про эти самые кванторы) выписывать все определения: открытого множества, непрерывности etc.

Есть оно и в Зориче, и в Колмогорове-Фомине, у последних, правда, естессно, в абстрактных топологических пространствах, а не только конечномерных. Конечномерность тут, в общем-то, лишняя.

[Apacho]

Спасибо большое за подсказку, но чет пока все равно ничего не получаеться

[Otta]

А Вы в какую сторону доказываете?

[Apacho]

пытаюсь $\Rightarrow$

[Otta]

Попробуйте в другую, для начала.

[SpBTimes]

В обратную - если написать, что дано, то получите просто определение непрерывности на языке окрестностей.

[Otta]

Только аккуратно надо написать.

[Apacho]

запишем определение открытого множества $U\subset R^m$:

$U$ открытое множ. $\Leftrightarrow \forall x \in U \exists \epsilon>0 : \lbrace w \in R^m : \sum (x_i - w_i)< \epsilon \rbrace \subset U$

Теперь нужно рассписать для $f^-1(U) \subset R^n$ ???????

[Otta]

Apacho
Ох, что ж так сурово? А словами Вы знаете? Какое множество называется открытым?

[Apacho]

открытое множество это множество у которого каждый элемент принадлежит множеству вместе с какой нибудь окрестностью.
Вроде так

[Otta]

Apacho в сообщении #734804 писал(а):

открытое множество это множество у которого каждый элемент принадлежит множеству вместе с какой нибудь окрестностью.
Вроде так

Вот это гораздо лучше. А теперь хорошо бы выяснить, что Вам разрешается называть окрестностью точки. Потому что разрешают - разное. И в зависимости от этого доказывать будет легче или наоборот.

[Apacho]

как я понял это шар радиуса эпсилон с центром в точки x

[Otta]

Ну вот это нехорошо. Это Вам будет жизнь осложнять. Классически, если речь идет о топологии, окрестностью точки называется любое открытое множество, эту точку содержащее. И определение непрерывности, кстати, тоже дают без эпсилон-дельта в том числе. Посмотрите, может, и было. Вам будет гораздо легче.

Но если нормального определения и не было, с этим тоже можно работать.
Значит, как будет выглядеть определение открытого множества на языке окрестностей? (Не надо расписывать, что это такое, сама окрестность, внутри определения.)

[Apacho]

Нам оно давалось определение в кванторах которое я до этого писал(( больше никакого незнаю