Площадь сферы

[jokertokar]

Необходимо вывести площадь сферы через двойной интеграл.
Её уравнение :$x^2+y^2+z^2=R^2$
Не пойму,что именно интегрировать и какие пределы подставлять...

Если есть учебник по мат. анализу, где демонстрируется это, буду весьма благодарен за подсказку.

[arseniiv]

Например, можно разделить сферу на верхнюю и нижнюю полусферы. Их уравнения можно получить, выразив $z$: $z = \pm\sqrt{R^2 - x^2 - y^2}$. Теперь видите, что интегрировать?

[jokertokar]

это понятно, но как этот корень проинтегрировать и с какими пределами?

[arseniiv]

По области определения, конечно же.

А интегрировать надо, действительно, по-особому. Длины кривых, заданных уравнением $y = f(x)$, считали? А тут поверхность.

[Lahme]

А может в полярных проще будет? Или по условию надо именно в декартовых?
Там тоже вроде через двойной получается.

[SpBTimes]

Наверное, проще задать параметрически. И пересчитать $dS$

[nikvic]

В школе сфера разбивается на пояски, площадь каждого легко выражается через высоты.
Остаётся написать это в интегралах

[_Ivana]

В разных школах по-разному. Я встречал несколько вариантов, в т.ч. самое простое - из знания формул объема шара и объема пирамиды.
А еще можно вот так

[nikvic]

(Оффтоп)

Я учился по Киселёву

[Ales]

jokertokar в сообщении #734722 писал(а):

Необходимо вывести площадь сферы через двойной интеграл.
Её уравнение :$x^2+y^2+z^2=R^2$
Не пойму,что именно интегрировать и какие пределы подставлять...

Если есть учебник по мат. анализу, где демонстрируется это, буду весьма благодарен за подсказку.

Есть разные способы, но самый сложный - через формулу $x^2+y^2+z^2=R^2$.
Представим, что сфера - это глобус с радиусом R.
Надо брать широтные полоски и интегрировать по широте $\varphi$ от -90 до 90 градусов (от $-\frac {\pi} 2$ до $\frac {\pi} 2$ ).
Площадь каждой широтной полоски - это длина по меридиану - то есть $Rd\varphi$, умноженная на длину широтного пояса, то есть на $2\pi R\cos{\varphi}$.
Значит площадь сферы с радиусом R - это $\int \limits _{-\frac {\pi} 2} ^{\frac {\pi} 2} 2\pi R^2\cos{\varphi} d\varphi$.

[ewert]

nikvic в сообщении #734756 писал(а):

В школе сфера разбивается на пояски, площадь каждого легко выражается через высоты.
Остаётся написать это в интегралах

Это всё Архимед.

[Alex_J]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #734874 писал(а):

Это всё Архимед.

Так и знал, что он во всём виноват!

[мат-ламер]

jokertokar в сообщении #734722 писал(а):

Необходимо вывести площадь сферы через двойной интеграл.

Сначала через поверхностный интеграл первого типа, а тот уже считать через двойной. Сферу задать параметрически.

[svv]

Площадь верхней полусферы равна $\int\limits_S dS=\int\limits_{S_z} \frac{dS_z}{n_z}=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{\rho=0}^R \frac {\rho d\rho}{z/R} d\varphi$,
где $S_z$ -- проекция полусферы на плоскость $Oxy$, $dS_z$ -- соответствующий элемент площади, $n$ -- вектор нормали к сфере.
Так как на полусфере $z^2+\rho^2=R^2$, то $\rho d\rho=-z dz$, и площадь равна
$R\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{z=0}^R dz d\varphi = 2\pi R^2$

[Yu_K]

А найти разницу объемов $\frac{4}{3}\pi (r+dr)^3$ и $\frac{4}{3}\pi dr^3$ и поделить ее на высоту $dr$ - это тоже Архимед?