Определение угла между направлением на север и на точку

[Zuko]

Имеются две точки в сферической системе координат (привязанной к Земле, т.е. геодезическая СК). Их координаты $r_1$, $r_2$ - расстояния от центра СК, $\lambda_1$, $\lambda_2$ - долгота, $\varphi_1$, $\varphi_2$ - широта. По этим координатам можно получить координаты в гринвической СК (прямоугольная система координат, связанная с Землей), т.е. $X_1$, $Y_1$, $Z_1$ и $X_2$, $Y_2$, $Z_2$.
Вопрос: Как найти угол между направлением на север (касательная к точке $(r_1, \lambda_1, \varphi_1)$, лежащая в плоскости меридиана) и направлением на вторую точку (т.е. линией, соединяющей первую и вторую точки). Задача вроде не сложная, но я в ней никак не могу разобраться.

[svv]

Zuko в сообщении #734427 писал(а):

Как найти угол между направлением на север (касательная к точке $(r_1, \lambda_1, \varphi_1)$, лежащая в плоскости меридиана) и направлением на вторую точку (т.е. линией, соединяющей первую и вторую точки).

На всякий случай уточните: Вы эти точки соединяете прямой? То есть, если обе точки на поверхности Земли, то линия выходит из первой точки негоризонтально, а направлена куда-то под землю, так?

[Otta]

svv
Не, ну наверное по геодезической все же.

[svv]

А тогда как это обобщить на случай $r_1\neq r_2$?

[Otta]

Вот это и я не поняла. То ли у нас Земля не сфера в этой задаче? )) Тада я заранее пас.

[svv]

Ну, ладно. Считаем, что обе точки на поверхности Земли.
Углы не изменятся, если радиус сферы взять единичным.

Сначала надо решить простую вспомогательную задачу (и тогда дальше всё будет элементарно). Даны две точки $A$ и $B$ на единичной сфере. Каким вектором выражается направление, в котором надо начать двигаться кратчайшим путём из $A$ в $B$ по сфере? На математическом языке: найти единичный касательный вектор в точке $A$ к дуге большого круга, соединяющей $A$ и $B$.

Пусть $O$ – центр Земли. Попробуйте найти искомый вектор $\mathbf p$, исходя из трех условий.
1. Он лежит в плоскости $OAB$, стало быть, является линейной комбинацией радиус-векторов $\mathbf a=\vec{OA}$ и $\mathbf b=\vec{OB}$.
2. Он ортогонален вектору $\mathbf a$ (как "горизонтальный" "вертикальному").
3. Его длина равна единице.

[Otta]

svv Дык может, у человека дифгем. Тогда ТС, по идее, должен знать, каким уравнениям удовлетворяют касательные вектора к геодезическим на сфере. И все будет еще проще. Ну или сложнее. Кому как.

[Zuko]

svv Спасибо, это похоже на решение. Только у меня со сферической геометрией вообще туго) Могу лишь сказать, что радиусы можно принять равными, а прямую, лучше рассматривать сферической (так ли это называется не знаю, короче говоря кривой).
Вся эта фигня мне нужна для того, чтобы понять под каким углом от направления на север двигаться, чтобы придти точно во вторую точку.

Найти вектор из точки $A$ в точку $B$ в прямоугольных координатах я могу. Это будет разность векторов $\vec{a}-\vec{b}$. Но вот как сделать, чтобы этот вектор был ортогонален вектору $\vec{a}$?

[Otta]

Zuko
Вам для каких целей? Вам нужно решение или формула?

[Zuko]

Формула, которая позволила бы определить этот угол, в идеале. Но если этим форумом это запрещается, то хотя бы более менее понятный ход решения.

Через скалярное произведение я могу найти угол $\alpha$ между векторами $\vec{a}=(X_1,Y_1,Z_1)$ и $\vec{b}=(X_2,Y_2,Z_2)$. Зная этот угол я могу найти угол $\beta$ между вектором, соединяющим точки $A$ и $B$ и проекцией этого вектора на касательную в точке $A$ по формуле $\beta=90^\circ-(180^\circ-\alpha)/2$. Отсюда я наверно как-то могу получить вектор. Остается вопрос как найти вектор в точке $A$, направленный на север.

[Otta]

Zuko, почему запрещается. Запрещаются готовые решения.
Если Вам нужна просто формула для использования, а не решение задачи, так ведь это известная задача. Обратная геодезическая. Можно найти в справочниках. Геодезисты ведь не считают каждый раз углы между геодезическими на сфере вручную.

Посмотрите здесь, Геодезическая задача обратная на плоскости, сфере, эллипсоиде. И здесь: Vincenty formulae. Эти формулы тоже могут быть использованы с поправкой на несферичность Земли, но они итерационные.

[svv]

Zuko в сообщении #734595 писал(а):

Остается вопрос как найти вектор в точке $A$, направленный на север.

А совершенно так же, только роль точки $B$ играет теперь северный полюс.

[Zuko]

svv Спасибо, осталось вывести формулу)

Otta В книжке почему-то не нашел этой задачи, а в английской википедии не понимаю, что за азимуты $\alpha_1$ и $\alpha_2$?

-- 09.06.2013, 13:21 --

Otta, гигантское спасибо) Формула для $\alpha_2$ в английской википедии по второй ссылке, подошла к моей задаче.

[Otta]

Zuko

Zuko в сообщении #734605 писал(а):

В книжке почему-то не нашел этой задачи

Я не знаю, как Вы не нашли. Я ж Вам даже раздел написала. Ну давайте еще страницу напишу: стр. 32-33.
Азимут точки 2 из текущей точки 1 это как раз и есть угол между направлением на северный полюс и направлением из 1 в 2 по поверхности Земли. Это справочник, посмотрите сами. Там про азимуты есть тоже.

Английская википедия азимут относительно наблюдателя (то есть точки 1) определяет аналогично: Calculating azimuth

[Munin]

Zuko в сообщении #734584 писал(а):

Только у меня со сферической геометрией вообще туго)

Сферическая геометрия - это раздел, который настолько просто излагается через другие разделы, что его нет никакой надобности изучать отдельно.

Для практических нужд, за глаза достаточно заменить все точки и линии на сфере - линиями и плоскостями, проходящими через начало координат в пространстве. После чего все вычисления легко проводятся в декартовых координатах, и в конце, если надо, переводятся в сферические. Единственное, что таким способом непросто найти - это площади на сфере (≡ телесные углы из начала координат), тут без интегрирования не обойтись.

Если хочется общего подхода, применимого к поверхностям любой формы - то это методы дифференциальной геометрии. Но они потребуют дифференцирования и интегрирования для любых простейших задач.

Кстати, ровно точно так же, как практически можно свести к декартовой сферическую геометрию, к ней сводится и геометрия Лобачевского. Для этого надо принять псевдоевклидову метрику (+1,-1,-1), и рассмотреть (псевдо)сферу действительного радиуса (точнее, одну её половину).