Симметризация матрицы

[AlexeyS]

Помогите ответить на вопрос! Пусть А - вещественная квадратная матрица порядка $n\ge 6$, имеющая n различных строго положительных собственных чисел. Верно ли что симметризация $1/2(A+A^T)$ матрицы A является положительно определенной матрицей?
Верно ли я понимаю, что раз у матрицы А все собственные числа положительные, то она положительно определенная, как и ее симметризация?

[TOTAL]

AlexeyS в сообщении #733976 писал(а):

Верно ли я понимаю, что раз у матрицы А все собственные числа положительные, то она положительно определенная, как и ее симметризация?

Для матрицы 2 на 2 проверьте, верно ли понимаете.

[AlexeyS]

Спасибо, с этим разобрался. Теперь нужно найти 2 линейно независимые системы векторов ${x_1...x_n}$ и ${y_1...y_n}$, такие что $y_j^TAx_i=0$ при $i\not=j$ и $y_i^TAx_i=1$ при всех i.
Если в качестве таких систем взять собственные векторы матриц $A$ и $A^T$, то по первому условию все ок. Но как доказать, что эти системы удовлетворяют второму условию? если они удовлетворяют, конечно. В смысле где гарантия, что $y_i^Tx_i\not=0$ для всех i?

[g______d]

AlexeyS в сообщении #733976 писал(а):

Верно ли я понимаю, что раз у матрицы А все собственные числа положительные, то она положительно определенная, как и ее симметризация?

$$ \left(\begin{matrix} 1 &100\\ 0&2 \end{matrix}\right) $$