Доказать изоморфизм

[ok_go]

$A$ - конечная система, $f$ - гомоморфизм из $A$ на $A$ (сюрьекция).
Доказать, что $f$ - изоморфизм.

1. $f$ - биекция - очевидно. Т.к. $f$ должно быть всегда "на", а мы делаем на равномощное множество. значит инъекция, значит биективно.

2. а вот как доказать изоморфизм в бесконечной системе - я не знаю

[Joker_vD]

ok_go в сообщении #733468 писал(а):

1. f - биекция - очевидно. Т.к. f должно быть всегда "на", а мы делаем на равномощное множество. значит инъекция, значит биективно.

Хм? $f\colon \mathbb N \to \mathbb N$, действующее по правилу $f(2k)=k,\;f(2k+1)=k$, отображает $\mathbb N$ на $\mathbb N$, но неинъективно.

[ok_go]

Я понимаю, что можно придумать много примеров, показывающих, что $f$ - не биекция, но нужно доказать, что она является биекцей.

Например, $\mathbb N$ и $\mathbb N$ равномощны между собой, следовательно, между ними существует биекция.
То есть иссходя из определения равномощных множеств я утверждаю, что именно $f$ - биекция.

[provincialka]

Что значит "именно $f$"? У вас задана конкретная функция? Покажите, не скрывайте

[lena7]

ok_go в сообщении #733543 писал(а):

Например, $\mathbb N$ и $\mathbb N$ равномощны между собой, следовательно, между ними существует биекция.

Из того, что существует биекция $\mathbb N\to\mathbb N$ не следует, что любое сюръективное отображение $\mathbb N\to\mathbb N$ будет биекцией. Пример дал Joker_vD.

Для конечных алгебраических систем сюръективный гомоморфизм автоматически является инъективным. Для бесконечных это не верно. Примеров полно.

(Кстати, то, что вы написали под п. 1 не является доказательством. Более того, это не является осмысленным предложением русского языка.)

[ok_go]

provincialka в сообщении #733547 писал(а):

Что значит "именно $f$"? У вас задана конкретная функция? Покажите, не скрывайте

нет, конкретной нету, нужно доказать, что f - биекция, я просто более отстраненно объяснял)

Цитата:

Например, $N$ и $N$ равномощны между собой, следовательно, между ними существует биекция.

Да, хотя я сказал не совсем то, я сказал, что если они равномощны, то между ними существует биекция, а не что любое сюръективное отображение является биекцией.

мне нужно показать и для конечных и для бесконечных

[bot]

Для бесконечных этого доказать нельзя, нельзя также доказать для конечных систем с предикатами.

[ok_go]

bot в сообщении #733582 писал(а):

Для бесконечных этого доказать нельзя, нельзя также доказать для конечных систем с предикатами.

Хорошо, тогда как быть с конечными?

[bot]

Дык всякая суръ будет инъ - очевидно.

[ok_go]

bot в сообщении #733610 писал(а):

Дык всякая суръ будет инъ - очевидно.

нужен изоморфизм. причем преподавателю нужно очень формально

[bot]

Ну, допустим два элемента под действием отображения попали в одно и то же место ...

[ok_go]

по условию - сюръекция

[bot]

Э-э-э, так Вы не знаете что такое суръекция?

[ok_go]

знаю, сюръекция - это по условию.
нужно доказать инъекцию, а затем, пользуясь тем, что f - гомоморфизм, доказать изоморфизм

[provincialka]

Ну и делайте, как говорят. От противного. Что можно сказать об отображении, если оно не инъекция?

Но с бесконечным множеством по-прежнему не понятно. Уточните задачу. У вас ведь не просто сюръекция, а гомоморфизм. Чего? Какой структуры? Может, это поможет?