Каждое значение -- континуум раз

[Ktina]

Существует ли функция, непрерывная на отрезке $[0; 1]$, отличная от константы и принимающая каждое своё значение континуум раз?

Сперва мне показалось, что

$$f(x)=\sin{\frac{1}{x}}$$

годится, но...
Во-вторых, она не определена в нуле, а значит (или не значит?), не непрерывна на отрезке $[0; 1]$.
А во-первых, там, кажется, не континуум, а счётниум.

Взято отсюда.
Пожалуйста, помогите решить.

[SpBTimes]

Ktina в сообщении #733513 писал(а):

Во-вторых, она не определена в нуле, а значит (или не значит?), не непрерывна на отрезке $[0; 1]$.

Значит.
И действительно, там счетное

[Ktina]

SpBTimes в сообщении #733514 писал(а):

Значит.
И действительно, там счетное

Не могли бы Вы подсказать только на кончике вилочки идею, а не целиком?

[SpBTimes]

Воспользуйтесь тем, что непрерывная на отрезке функция принимает между двумя своими значениями и все промежуточные. Тем самым, хотя бы раз, между двумя иррациональными значениями она пройдет через рациональное (иначе она константа). А значит..

[Ktina]

SpBTimes в сообщении #733519 писал(а):

Воспользуйтесь тем, что непрерывная на отрезке функция принимает между двумя своими значениями и все промежуточные. Тем самым, хотя бы раз, между двумя иррациональными значениями она пройдет через рациональное (иначе она константа). А значит..

А значит, не было таких пряжек?

-- 06.06.2013, 15:11 --

В смысле, нет такой функции?

[ИСН]

post257892.html

[Ktina]

ИСН в сообщении #733527 писал(а):

http://dxdy.ru/post257892.html

И вот тоже: topic24128-4.html

[SpBTimes]

Ах ты, а я думал, там все проще.

[Ktina]

А функция

$$f(x)=x\sin(2^x)$$

разве не континуум раз принимает каждое своё значение?

[Legioner93]

Ktina в сообщении #734247 писал(а):

А функция

$$f(x)=x\sin(2^x)$$

разве не континуум раз принимает каждое своё значение?

Ну...
$x\cdot \sin{(2^x)}=0 \Leftrightarrow \sin{(2^x)}=0 \Leftrightarrow x=\log_{2}{\pi} + \log_{2}{n}$. Счётнитуальнее не придумаешь

[Ktina]

Legioner93 в сообщении #734272 писал(а):

Ну...
$x\cdot \sin{(2^x)}=0 \Leftrightarrow \sin{(2^x)}=0 \Leftrightarrow x=\log_{2}{\pi} + \log_{2}{n}$. Счётнитуальнее не придумаешь

На каждом следующем единичном интервале наша функция принимает значение 0 вдвое чаще. А значит, при устремлении в бесконечность частота появлений нуля стремится к $2^{\infty}$, что и есть континуум.
В чём я не права?

[Otta]

Ktina в сообщении #734247 писал(а):

...разве не континуум раз принимает каждое своё значение?

:) Заведомо не надо искать потребную функцию среди аналитических.

[Ktina]

Otta в сообщении #734277 писал(а):

:) Заведомо не надо искать потребную функцию среди аналитических.

Почему?

[Otta]

Ktina в сообщении #734275 писал(а):

В чём я не права?

Грубо говоря, в том, что последовательность $1/2, 4/3, 5/3, 9/4, 10/4, 21/8, 11/4, \ldots$ - имеет мощность континуум.

-- 08.06.2013, 02:36 --

Ktina в сообщении #734278 писал(а):

Почему?

По теореме единственности.

[Legioner93]

Ktina в сообщении #734275 писал(а):

Legioner93 в сообщении #734272 писал(а):

Ну...
$x\cdot \sin{(2^x)}=0 \Leftrightarrow \sin{(2^x)}=0 \Leftrightarrow x=\log_{2}{\pi} + \log_{2}{n}$. Счётнитуальнее не придумаешь

На каждом следующем единичном интервале наша функция принимает значение 0 вдвое чаще. А значит, при устремлении в бесконечность частота появлений нуля стремится к $2^{\infty}$, что и есть континуум.
В чём я не права?

Счётное множество - множество, все элементы которого мы можем пронумеровать натуральными числами. Такую нумерацию $x_n=\log_{2}{\pi} + \log_{2}{n}$ я наглядно продемонстрировал.
А в этих рассуждениях про частоту появления нуля смысл отсутствует начисто.