Диполь Герца

[Rubik]

Люди добрые! Вопрос, возможно, не совсем по физике, скорее по математике, но хотелось бы разобраться. В 3 томе Сивухина на стр. 628 есть небольшая математическая выкладка, касающаяся запаздывающих потенциалов. Вопросы вызывает вторая формула в (141.5), которая выглядит так (после тривиальной замены) $\operatorname{div}\frac{(\mathbf g\mathbf r)\mathbf r}{r^{n+2}}=-(n+2)\frac{(\mathbf g\mathbf r)}{r^{n+2}}+\frac{\operatorname{div}\mathbf g}{r^n}$ (1).
При попытке проверить эту формулу, я получаю несоответствие с ней. Вот что получается у меня:
$$\operatorname{div}\frac{(\mathbf g\mathbf r)\mathbf r}{r^{n+2}}=\frac1{r^{n+2}}\operatorname{div}(\mathbf g\mathbf r)\mathbf r+(\mathbf g\mathbf r)\mathbf r\operatorname{grad}\frac1{r^{n+2}}=$ $\frac{(\mathbf g\mathbf r)}{r^{n+2}}\operatorname{div}\mathbf r+\frac{\mathbf r}{r^{n+2}}\operatorname{grad}(\mathbf g\mathbf r)-(n+2)\frac{(\mathbf g\mathbf r)}{r^{n+2}}=-(n-1)\frac{(\mathbf g\mathbf r)}{r^{n+2}}+\frac{\mathbf r}{r^{n+2}}\operatorname{grad}(\mathbf g\mathbf r)$ (2).
Преобразуем второе слагаемое. $[\mathbf g[\nabla\mathbf r]]=\nabla(\mathbf g\mathbf r)-\mathbf r(\nabla\mathbf f)$. Отсюда $\operatorname{grad}(\mathbf g\mathbf r)=[\mathbf g\operatorname{rot}\mathbf r]+\mathbf r\operatorname{div}\mathbf g=\mathbf r\operatorname{div}\mathbf g$ (3).
Подставляя (3) в (2) получим $\operatorname{div}\frac{(\mathbf g\mathbf r)\mathbf r}{r^{n+2}}=-(n-1)\frac{(\mathbf g\mathbf r)}{r^{n+2}}+\frac{\operatorname{div}\mathbf g}{r^n}$, т. е. различие в коэффициенте.
Правильно ли у меня сделаны выкладки? Спасибо.

[lucien]

Формула (3) не верна. Для проверки, подставте $g=const$.

[svv]

А формула (1) тоже неверна. Возьмите $\mathbf g=\operatorname{const}, \;n=-2$.

[Rubik]

Спасибо, понял свою ошибку в формуле (3). Формула (1) - из Сивухина, и там она используется только для n>0.

[Munin]

Rubik в сообщении #733485 писал(а):

В 3 томе Сивухина на стр. 628

По одному изданию (электронная книга) это страница 628, по другому (тоже электронная книга) - 592. Лучше называть номер параграфа, если книга претерпела множество изданий. Даже, номер и название параграфа.

Применять формулу "бац минус цаб" с наблой надо осторожно. Надо отмечать, на какие буквы набла действует, а на какие не действует. В "нормальном" виде, набла действует на всё то, что правее неё, и не действует на всё то, что левее неё. Потом вы отмечаете, делаете векторные преобразования, и "нормализуете" результат, подгоняя наблу в промежуток между отмеченными и неотмеченными буквами.

Соответственно: надо преобразовать $\nabla(\underline{\mathbf{g}}\underline{\mathbf{r}}).$ Пишем:
$[\underline{\mathbf{g}}[\nabla\underline{\mathbf{r}}]]=\nabla(\underline{\mathbf{g}}\underline{\mathbf{r}})-\underline{\mathbf{r}}(\underline{\mathbf{g}}\nabla)$
Дальше правило Лейбница:
$[\underline{\mathbf{g}}[\nabla\mathbf{r}]]+[\mathbf{g}[\nabla\underline{\mathbf{r}}]]=\nabla(\underline{\mathbf{g}}\underline{\mathbf{r}})-\underline{\mathbf{r}}(\mathbf{g}\nabla)-\mathbf{r}(\underline{\mathbf{g}}\nabla)$
И наконец, перестановки сомножителей:
$[[\mathbf{r}\nabla]\underline{\mathbf{g}}]+[\mathbf{g}[\nabla\underline{\mathbf{r}}]]=\nabla(\underline{\mathbf{g}}\underline{\mathbf{r}})-(\mathbf{g}\nabla)\underline{\mathbf{r}}-\mathbf{r}(\nabla\underline{\mathbf{g}})$
В общем, видно, что половину слагаемых вы потеряли.

-- 06.06.2013 16:08:06 --

svv
Наверное, там $n$ подразумевается положительным.

[svv]

И при положительных $n$ формула неправильная. Пусть $\mathbf g=\operatorname{const}$.

$$\operatorname{grad}\frac 1{r^{n+2}}=\frac{-(n+2)\mathbf r}{r^{n+4}}$$

$$\operatorname{div}(\mathbf g\mathbf r)\mathbf r=4(\mathbf g\mathbf r)$$

$$\operatorname{div}\frac{(\mathbf g\mathbf r)\mathbf r}{r^{n+2}}=\left((\mathbf g\mathbf r)\mathbf r \operatorname{grad}\frac 1{r^{n+2}}\right)+\frac 1{r^{n+2}}\operatorname{div}(\mathbf g\mathbf r)\mathbf r=\frac{-(n+2)(\mathbf g\mathbf r)(\mathbf r\mathbf r)}{r^{n+4}}+\frac {4(\mathbf g\mathbf r)}{r^{n+2}}=\frac{-(n-2)(\mathbf g\mathbf r)}{r^{n+2}}$$

-- Чт июн 06, 2013 15:05:43 --

Rubik
Попробуйте ещё раз прописать с учётом всех исправлений. Я тоже ещё раз внимательно посмотрю, нет ли у меня ошибок. И в результате возникнет интересная ситуация: наши с Вами результаты совпадут между собой, но не совпадут с Сивухиным.