Еще по потокам.

[SFIOR]

Подобного рода топик создавал GlazkovD
Но все же хочется больше конкретезировать вопрос немного в другую сторону.
Но по сути повторение чужого топика с другой стороны
http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=8513


1) Предположим у нас есть поверхность Двусторонняя.
(Ну не мебиус или бутылка клейна. В общем поняли).
Ну там Плоскость, полусфера и прочие формы такого рода.

2) Нам нужно вычислить поток векторного поля через поверхность.

А теперь собственно вопрос.
СПРАВЕДЛИВ ЛИ СЛЕДУЮЩИЙ АЛГОРИТМ

У поверхности может быть 2 нормали в одной точке. Противоположенных по направлению(под 180 градусов).
Для нахождения потока векторного поля через нужную поверхность
делаем следующее

1) Проецируем F=Pi+Qj+Rk на направляющие косинусы нужной(одной из 2 возможных) нормалей в точке.
Получаем функцию типо Fn=P(cos(a))+Q(cos(b))+R(cos(c))
где PQR,a,b,c функции от XYZ.
Fn-уже выражение без орт ijk вроде бы т.к проекция на конкретную из номалей а там впринципе не нужна система координат т.к отсчетом является точка где вычислена Fn

2)Мы получили как бы зависимость Fn от XYZ.
Поток вектора это как бы количество линий векторов на единицу поверхности(образно говоря)
Т.е у нас есть Fn на элементарной площадке поверхности ds
Соответственно если мы грубо говоря умножим Fn на площадь этой элементарной площадки ds то мы получим поток векторного поля на очень маленьком кусочке поверхности.
т.е dП=Fn*ds
А если мы будем интегрировать это выражение по поверхности то тогда получим поток.

Вот когда мы вышеуказанным путем получили Fn, мы можем ее рассматривать как скалярную функцию от XYZ. Хотя впринципе это вектор.
Проитегрировав Fn(X,Y,Z) по поверхности мы получаем поток.

Т.е второй шаг после определения Fn(X,Y,Z) это определить поверхность.
Точнее ее проекцию, а затем как говорил GlazkovD
Т.е в Fn(X,Y,Z)-Проекцию вектора F на нормаль к поверхности в точке X,Y,Z вместо Z подставить явную функцию Z(X,Y)- функцию задающую поверхность, по которой ищем поток.

А затем тупо пользуемся формулой

$$\int_{S}^{} \int_{}^{} \phi (x,y,z(x,y)) \sqrt{1+{{(\frac {dz} {dx})} ^2} +{{(\frac {dz} {dy}}) ^2}} dxdy$$

которую привел GlazkovD

Т.е уже не ломать голову а искать двойной интеграл по области(проекции на OXY)

Вроде бы так ?