Полнота пространства C[a,b]

[truestyle]

Здравствуйте, форумчане! Читал книгу Колмогорова по функциональному анализу и наткнулся на доказательство полноты пространства непрерывных функций на отрезке (стр. 67). В данном доказательстве рассматривается фундаментальная сходящаяся последовательность, и даётся определение этого факта $\forall \varepsilon>0 \exists N: |x_n(t)-x_m(t)|<\varepsilon \forall m,n > N$. Почему $N $не зависит от $\varepsilon$ ? (По определению фундаментальной последовательности должно)
Далее по понятным причинам говорится, что последовательность сходится равномерно, а уже из этого следует, что предел этой последовательности есть непрерывная функция. Почему ?
Помогите разобраться в данных вопросах.

[SpBTimes]

$N$ зависит от $\varepsilon$.
Что значит, что последовательность сходится равномерно? Тут именно это определение и написано. Далее, предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функция есть функция непрерывная (довольно очевидно доказательство).
Ну, собственно, и все. Устремляете, скажем, $m \to \infty$, ну и все. Пользуетесь тем,что предельная функция непрерывна.

[Otta]

truestyle в сообщении #733249 писал(а):

Почему $N $не зависит от $\varepsilon$ ?

Зависит по умолчанию (кроме как для стационарных последовательностей). Просто обычно это не пишут.

Равномерная сходимость следует из определения нормы на этом пространстве. Равномерный предел непрерывных функций есть функция непрерывная - результат, получаемый в курсе матанализа.

-- 06.06.2013, 01:12 --

О, нас двое.

[truestyle]

Otta в сообщении #733262 писал(а):

truestyle в сообщении #733249 писал(а):

Почему $N $не зависит от $\varepsilon$ ?

Зависит по умолчанию (кроме как для стационарных последовательностей). Просто обычно это не пишут.

Равномерная сходимость следует из определения нормы на этом пространстве. Равномерный предел непрерывных функций есть функция непрерывная - результат, получаемый в курсе матанализа.

-- 06.06.2013, 01:12 --

О, нас двое.

В каком источнике я могу прочесть о данном факте ?

[Otta]

truestyle в сообщении #733303 писал(а):

В каком источнике я могу прочесть о данном факте ?

О котором?

[ewert]

truestyle в сообщении #733249 писал(а):

Почему $N $не зависит от $\varepsilon$ ?

Потому что надо уметь читать. Потому что он вовсе не от эпсилона не зависит (угадайте, от чего). А от эпсилона он как раз зависит, что и следует из этой записи.

[Otta]

ewert
Человеку действительно может быть в диковинку это понимание, естественное во всем окружающем мире, :) если его на МА всю жизь насильственно приучали писать $N=N(\varepsilon)$.

[svv]

Если бы $N$ не зависело от $\varepsilon$, то вместо
$\forall \varepsilon>0 \;\;\exists N: ...$
следовало бы написать
$\exists N:\;\forall \varepsilon>0\;...$

[truestyle]

Otta в сообщении #733309 писал(а):

truestyle в сообщении #733303 писал(а):

В каком источнике я могу прочесть о данном факте ?

О котором?

О том, что предел это непрерывная функция.

[Otta]

truestyle в сообщении #733532 писал(а):

О том, что предел это непрерывная функция.

Математический анализ.
Тема: равномерная сходимость (например, последовательностей).
Результат: непрерывность предельной функции.

Полная формулировка: Если последовательность состоит из непрерывных на множестве функций и сходится на этом множестве равномерно, то предельная функция непрерывна.

Существуют вариации этого результата. Источник - практически любой учебник по МА.

[SpBTimes]

truestyle
Любой учебник по анализу. А вообще, можно и тут.
Предположим, что $f_n(t)$ сходится равномерно к $f(t)$ на $T$, причем $f_n(t) \in C(T)$. Покажем, что $f(t)$ непрерывна на $T$.
$|f(t) - f(t_0)| = |f(t) - f_n(t) + f_n(t) - f_n(t_0) + f_n(t_0) - f(t_0)| \leqslant |f(t) - f_n(t)| + |f_n(t) - f_n(t_0)| + |f_n(t_0) - f(t_0)|$.
Зададим произвольное $\varepsilon > 0$
Далее, в силу непрерывности $f_n(t)$ найдем $\delta$- окрестность $t_0$ такую, что $|f_n(t) - f_n(t_0)| < \varepsilon$. В силу равномерной сходимости последовательности найдется $n_0$ такой, что $\forall n > n_0$ будет выполнено $|f(t) - f_n(t)| < \varepsilon$ для всех $t \in T$, в том числе и для $t_0$. Ну а тогда, из того, что $|t - t_0| < \delta$ вытекает, что $|f(t) - f(t_0)| < 3\varepsilon$, что и доказывает непрерывность. Так как $t_0$ - любая из $T$, то все доказано

-- Чт июн 06, 2013 15:50:47 --

Otta
Стало лень стирать

[Otta]

SpBTimes в сообщении #733538 писал(а):

Стало лень стирать

Ладно, чо уж. Надо было только для порядку $n$ не любой брать, а фиксированный. $n=n_0+1$, например. Чтобы не создавать лишней зависимости.

[SpBTimes]

Otta

Otta в сообщении #733554 писал(а):

Чтобы не создавать лишней зависимости.

Да, и переставить строчки местами

[Otta]

SpBTimes
Глядя на правую часть неравенства, думается, что рассуждения верны для $n>n_0$. С одной стороны, это так, с другой, левая часть вообще от $n$ не зависит. Поэтому, чтобы не посвящать лишнее время, куда делси лишний квантор, я уж лучше постараюсь его не написать. Да и приятнее как-то...ну на мой взгляд.

-- 06.06.2013, 18:20 --

А строчки зачем?

[ewert]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #733322 писал(а):

:) если его на МА всю жизь насильственно приучали писать $N=N(\varepsilon)$.

А тут дело обоюдное. Я, поскольку читаю не математикам, иногда тоже к такой записи прибегаю (надеяться на абстрактные навыки несколько рискованно). Но чаще всё-таки скобочки стираю, но непременно приговаривая при этом мантру насчёт того, что запись без скобочек вот ровно зависимость и означает (уже после формального определения, ессно).