Есть ли аналогичная теорема для функций

[Eiffel]

Добрый день! Задался следующим вопросом.

Есть следующая всем известная теорема:
Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a;b]$ и дифференцируема в интервале $(a;b)$, то найдется такая точка $c \in (a;b)$, что $f(b)-f(a)=f'(\xi) \cdot (b-a)$.

Итак, интересно следующее. Есть ли что-то подобное, если вместо точек будут функции:

$$f(\phi_{2}(x))-f(\phi_{1}(x))=f'(c (x)) \cdot (\phi_{2}(x)-\phi_{1}(x)),$$

где $f$, $\phi_{1}(x)$, $\phi_{2}(x)$ - непрерывные и сколько угодно раз дифференцируемы.
Интересно именно поведение функции $c (x)$. Она непрерывна или не является непрерывной?
Может кто-то где-то видел подобное? Или подскажет? :)

[ИСН]

Для того, чтобы об этой $c(x)$ можно было говорить как о функции, не хватает сущей малости - чтобы та самая точка в теореме была единственна. А теорема нам этого вовсе не гарантирует.

[Eiffel]

ИСН, то есть, если забыть о "настоящей" теореме о среднем, то мы всегда не сможем ее построить? А если вдруг нашли такую функцию, то можно ли сказать какой она будет?

Вот я сейчас думаю можно ли какой красивый примерчик привести, говорящий о функции $c(x)$ и ее непрерывности.

[ИСН]

Не понял вопроса. Чего мы всегда не сможем? И что мы вдруг нашли?

[Eiffel]

ИСН, $c(x)$ никогда не будет являться функцией или все же мы сможем построить такую функцию в конкретных примерах и если сможем, то какой она будет?

[ИСН]

Иногда будет. Какой будет - надо подумать.

[Eiffel]

ИСН, вот над этим сейчас и думаю. Если что подскажите - буду очень благодарен :)