Изолированные и особые точки, ТФКП

[SDmitry]

День добрый!

Не могу разобраться с изолированными и особыми точками в ТФКП. Нужно найти точки и для полюсов узнать порядок. Функция с виду простая:
$e^\frac{1}{z^2}$

Заранее спасибо!

[Otta]

Ну и какие бывают изолированные особые точки?

PS Что-то Вы со всем "не можете разобраться". А что Вы пробовали?

[SDmitry]

Какие существуют ясно:
1) Либо устранимая особая, ежели предел существует и конечен.
2) Либо полюс, если существует и бесконечен
3) Либо существенно особая, если предела нет

Мне не понятно, как быть с комплексными числами и с пределами. В вещественном анализе как-то было интуитивно ясно и решалось, а тут не пойму как быть.

Тут под подозрение попадает точка $z=0$. Так? Потом я должен посчитать комплексный предел и сделать вывод. Правильно?

[Otta]

Правильно.
Еще иногда (некоторые источники) по умолчанию относят бесконечно удаленную точку к особым, проверьте, так ли это было у вас.

[SDmitry]

Вроде бы про бесконечно удалённую речи не было.

Пока я выяснил что в нуле у меня тут полюс, предел получается, что есть, но он бесконечен.
Потом возвожу функцию в минус первую степень и получаю, что значение - ноль. Критерий выполнен.

Теперь я должен узнать, какого порядка у меня полюс, для этого я должен умножать на (z - z_0) до тех, пор, пока полюс не пропадёт, на полученной степени остановится и сказать, что степень найдена.

У меня, если я правильно понял, после первого же умножения получается, что полюс ушёл, предел стал нулём, значит, он - простой полюс. Так?

[Otta]

SDmitry в сообщении #732868 писал(а):

Потом возвожу функцию в минус первую степень и получаю, что значение - ноль. Критерий выполнен.

Что, любая функция в минус первой - ноль? А если она все-таки не бесконечна? Вам же это надо проверить, а Вы это, фактически, приняли.

$\lim_{z\to\infty} e^{-z}$ как считать, не помните?

[SDmitry]

Означенный выше предел определённо нулевой, проверил. Если $z$ мы устремим не к бесконечности, а к 0, то получим бесконечный предел. Если это так, то как быть с кратностью полюса?

Я просто считаю предел $e^\frac{1}{z^2}z$, если устремлю $z$ к нулю, то получится 0, полюса больше нет, значит он был простой, я правильно понял и правильный предел посчитал?

[Ms-dos4]

SDmitry

Цитата:

Я просто считаю предел $e^\frac{1}{z^2}z$, если устремлю $z$ к нулю, то получится 0, полюса больше нет, значит он был простой, я правильно понял и правильный предел посчитал?

Криво считаете.
Самый простой способ - заметить, что если мы будем устремлять $z$ к нулю (в изначальной функции), то вообще говоря не со всех "сторон" получится одно и то же(сами догадайтесь с каких), а значит это существенно особая точка (фактически у функции там не существует предел)

[SDmitry]

Если я правильно понял, то предел в нуле слева и справа разный, они не совпадают и общего предела нет, тогда я делаю вывод, что это существенно особая точка. Так?

Но предел там 0 с двух сторон. Разве нет?

Как же тогда быть?

[Ms-dos4]

SDmitry
Нет, одно из направлений другое.
Вот смотрите, мы находим предел $\[\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} {e^{\frac{1}{{{z^2}}}}}\]$. Вспомним, что $\[z = x + iy\]$. Значит условие $\[z \to 0\]$ эквивалентно $\[x,y \to 0\]$.

Пусть мы находимся на вещественной оси (где $\[y = 0\]$). Рассмотрите предел $\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {e^{\frac{1}{{{x^2}}}}}\]$

Пусть мы находимся на мнимой оси (где $\[x = 0\]$). Рассмотрите предел $\[\mathop {\lim }\limits_{y \to 0} {e^{\frac{1}{{{{(iy)}^2}}}}}\]$

[SDmitry]

Предел с иксом у меня получился бесконечный, а с игреком - ноль. Если это так, то вывод, что точка существенно особая и предела тут нет, так?

[Ms-dos4]

SDmitry
Точнее, вывод, что предела нет, а отсюда уже что это существенно особая точка.

[SDmitry]

Спасибо! Задание вроде бы и решено.

[ewert]

SDmitry в сообщении #732856 писал(а):

1) Либо устранимая особая, ежели предел существует и конечен.
2) Либо полюс, если существует и бесконечен
3) Либо существенно особая, если предела нет

В действительности всё не так, как на самом деле. В действительности особые точки классифицируются по виду ряда Лорана в окрестностях этих точек. И даже если в вашем курсе классификация основывалась на пределах, вид ряда Лорана -- тоже непременно был, а из него все вопросы снимаются мгновенно.

[Ms-dos4]

ewert

(Оффтоп)

Вопросы то снимаются, но здесь Лоран ни к чему - т.к. сразу видно, что предела в данной точке нет, и этого тут вполне достаточно