2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Два примера гладкой неаналитической функции
Сообщение02.06.2013, 16:08 
Здравствуйте!
Меня заинтересовала идея придумать задачку-подколку для студентов, которые проходят правила Лопиталя. А именно, предъявить две ненулевые бесконечно гладкие не аналитические функции, равные нулю в нуле и с нулевым разложением Тейлора в нём. И попросить посчитать предел отношения.

Один пример довольно известен -- это $$f(x)=
\begin{cases}
e^{-1/x^2}, \text{ если $x$ не $0$}\\
0 \text{ иначе}\\
\end{cases}
$$

А вот со вторым примером как-то ничего в голову не приходит. Вернее, все что ни приходит, сводится к $f(cx)$, но это будет неинтересно из-за $$\frac{e^a}{e^b}=e^{a-b}$$

Подскажите хороший пример?

 
 
 
 Re: Два примера гладкой неаналитической функции
Сообщение02.06.2013, 16:56 
Ну засадите туда четвёртую степень вместо второй; или, наоборот, корень из модуля. Вообще-то это довольно бессмысленное занятие: ясно, что любой другой пример будет того же типа, что и этот, только менее естественно смотрящимся.

 
 
 
 Re: Два примера гладкой неаналитической функции
Сообщение02.06.2013, 17:11 
Ну чего он влазит, куда не надо.

 
 
 
 Re: Два примера гладкой неаналитической функции
Сообщение02.06.2013, 17:40 
Цитата:
Вообще-то это довольно бессмысленное занятие: ясно, что любой другой пример будет того же типа, что и этот, только менее естественно смотрящимся

Я что-то такое чувствую, но что значит это самое "такого же типа" применительно к этой затее -- непонятно. Экспонентой от чего-то? Но прологарифмировать тоже можно более менее что угодно, так что это ничего в понимании, можно сделать что-то интересное или нет -- не дает.

Цитата:
Ну засадите туда четвёртую степень вместо второй; или, наоборот, корень из модуля

Вы либо невнимательно прочли топик, либо я плохо выразился -- последняя выключная формула демонстрирует, что экспонента от элементарной функции для этой затеи не годится. Просто прологарифмируем и будем искать предел разности степеней, а не предел отношения функций.

Цитата:
а какое отношение правило Лопиталя имеет к аналитичности?

Если ряд Тейлора аналитической функции нулевой, то функция локально тождественно нулевая. Значит, с неизбежностью то, что мы ищем, будет неаналитично.

Вообще у меня появилась такая идея -- нужно задать функцию каким-нибудь рядом с общим членом типа $$\frac{1}{\arctg(\frac{1}{(x+\pi/2)^n}) n!}$$.
Может, это и оно, пока не сообразил.

 
 
 
 Re: Два примера гладкой неаналитической функции
Сообщение02.06.2013, 17:54 
walking pendulum в сообщении #731611 писал(а):
Меня заинтересовала идея придумать задачку-подколку для студентов, которые проходят правила Лопиталя. А именно, предъявить две ненулевые бесконечно гладкие не аналитические функции, равные нулю в нуле и с нулевым разложением Тейлора в нём.

а может студентам лучше объяснить, что плоские в нуле функции образуют замкнутое подпространство в $C^\infty(-a,a)$ т.е. множество первой категории Бэра?

 
 
 
 Re: Два примера гладкой неаналитической функции
Сообщение02.06.2013, 18:10 
Oleg Zubelevich в сообщении #731661 писал(а):
Меня заинтересовала идея придумать задачку-подколку для студентов, которые проходят правила Лопиталя. А именно, предъявить две ненулевые бесконечно гладкие не аналитические функции, равные нулю в нуле и с нулевым разложением Тейлора в нём.

а может студентам лучше объяснить, что плоские в нуле функции образуют замкнутое подпространство в $C^\infty(-a,a)$ т.е. множество первой категории Бэра?


Если отнестись к вашей реплике серьезно, то это по крайней мере другая затея. Возможно, она заинтересует вас :) То, что заинтересовало меня -- описано в топике.
Из содержательных замечаний.... Во-первых, рассказать о чем-то и дать задачку -- это две принципиально разных деятельности. И во-вторых, эту идею я задумал где-то возле выпуска из школы, когда у нас (в матклассе) был Лопиталь. И давать я ее планирую таким же школьникам. Про категории Бэра же я узнал, и то краем уха, только на 1 или 2 курсе университета, и особенно крутизной конструкции не проникся.

UPD предвосхищая вопросы про студентов из первого сообщения, в последнем превратившихся в школьников -- просто лень было объясняться. уж разобраться, владеет ли школьник вещами, имеющимися в условии, перед дачей задачи -- само собой разумеется.

 
 
 
 Re: Два примера гладкой неаналитической функции
Сообщение02.06.2013, 18:21 
walking pendulum в сообщении #731666 писал(а):
Про категории Бэра же я узнал, и то краем уха, только на 1 или 2 курсе университета, и особенно крутизной конструкции не проникся.

А надо бы. Множество первой категории Бэра это, говоря неформально, ничтожно малое множество с топологической точки зрения. Если функцию из этого множества сколь угодно мало возмутить, то полученная функция уже лежать в этом множестве не будет. В частности, сколь угодно малое возмущение плоской функции уже не является плоской функцией.
Вот Лопиталь не работает на множестве первой категории. Дать задачку можно, придумывать какие-то продвинутые примеры и развивать эту тему просто нет смысла в силу выше сказанного.

 
 
 
 Re: Два примера гладкой неаналитической функции
Сообщение02.06.2013, 20:08 
walking pendulum в сообщении #731656 писал(а):
Вы либо невнимательно прочли топик, либо я плохо выразился -- последняя выключная формула демонстрирует, что экспонента от элементарной функции для этой затеи не годится.

Вы крайне плохо выразились.

Что такое экспонента-то? -- это всего лишь одна из элементарных функций, не более и не менее. Да, с её помощью контрпример строится наиболее лаконично. Вам хочется ещё большей лаконичности?... или Вам хочется контрпримера, выражающегося через функции исключительно неэлементарные?... -- или Вам вообще чего-то хочется?...

Поставьте же задачу, в конце-то концов.

 
 
 
 Re: Два примера гладкой неаналитической функции
Сообщение03.06.2013, 00:05 
Цитата:
Поставьте же задачу, в конце-то концов.


Вы правы, поставил бы -- уже и сам бы давно решил :)
Пожалуй, я поторопился задавать вопрос, не разобравшись, чего же собственно хочу.

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение04.06.2013, 19:32 
Аватара пользователя
 i  Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Вопросы преподавания»
Перенёс в соответствующий раздел

 
 
 
 Re: Два примера гладкой неаналитической функции
Сообщение04.06.2013, 20:00 
Аватара пользователя
Можно еще такое вспомнить: плоские в нуле функции образуют идеал в кольце $C^{\infty}(-a;a)$. Угадайте, чему изоморфно факторкольцо.

 
 
 
 Re: Два примера гладкой неаналитической функции
Сообщение04.06.2013, 22:42 
кольцу голоморфных в нуле функций и гладких на $(-a,a)$

 
 
 
 Re: Два примера гладкой неаналитической функции
Сообщение04.06.2013, 22:57 
Аватара пользователя
Oleg Zubelevich в сообщении #732683 писал(а):
кольцу голоморфных в нуле функций и гладких на $(-a,a)$


Берите шире :)

 
 
 
 Re: Два примера гладкой неаналитической функции
Сообщение04.06.2013, 23:14 
сдаюсь

 
 
 
 Re: Два примера гладкой неаналитической функции
Сообщение04.06.2013, 23:17 
Аватара пользователя
$\mathbb C[[x]]$.

Собственно, кажется, Вы раньше и писали, как сделать произвольными коэффициенты Тейлора у гладкой функции. Ну и понятно, что функция ими определяется с точностью до плоской в нуле.

 
 
 [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group