равенство скалярного произведения на разных матемемат языках

[illuminates]

из геометрического определения имеем:
$ab=\sqrt{(a^1)^2+(a^2)^2+(a^3)^2}\sqrt{(b^1)^2+(b^2)^2+(b^3)^2}\cos\widehat{ab}$
из тензорного определения имеем:
$ab=a^1b^1+a^2b^2+a^3b^3$

вопрос: есть ли способ как доказать равенства правых частей?

[Xaositect]

Есть. Для этого надо, очевидно, выразить $\cos \angle(ab)$ через координаты векторов $a$ и $b$.

[illuminates]

$ab/(\sqrt{(a^1)^2+(a^2)^2+(a^3)^2}\sqrt{(b^1)^2+(b^2)^2+(b^3)^2})=\cos\widehat{ab}$ ?

[Xaositect]

Угу, только это надо доказать.

[mihailm]

illuminates в сообщении #732569 писал(а):

...
вопрос: есть ли способ как доказать равенства правых частей?

есть, в любом учебнике по аналитической геометрии

[ewert]

illuminates в сообщении #732569 писал(а):

есть ли способ как доказать равенства правых частей?

Есть, но это не мгновенная история. Если за основу принять первое, геометрическое определение, то некоторую трудность представляет доказательство линейности скалярного произведения. Но если оно доказано, то второй вариант получается мгновенно из разложения по базисным ортам. И есть тут ещё один нюанс.

[illuminates]

mihailm
вот я честно смотрел. так и не нашёл.

-- 04.06.2013, 20:42 --

ewert
давайте предположим что оно линейно. Вопрос, как разложить это дело по базисным ортам?

[ewert]

illuminates в сообщении #732594 писал(а):

давайте предположим что оно линейно. Вопрос, как разложить это дело по базисным ортам?

Банально -- взять и разложить. А вот предполагать линейность никак нельзя, она заранее совсем не очевидна. Она лишь может показаться очевидной, и то лишь потому, что привычна со школы.

[mihailm]

illuminates в сообщении #732594 писал(а):

mihailm
вот я честно смотрел. так и не нашёл.
...

учебник?

[illuminates]

mihailm
да. можете меня носом ткнуть где вы видели доказательство?

ewert
я честное слово, даже представить себе не могу как разложить первое дело по базису. Раскладывать мы можем вектора, а это скаляр.

[ewert]

illuminates в сообщении #732623 писал(а):

я честное слово, даже представить себе не могу как разложить первое дело по базису.

А я как раз могу себе представить, почему не можете себе представить. Дело в том, что у Вас первое определение неправильное в том смысле, что это никакое не определение. Правильное определение: $\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot\vec b|\cdot\cos\widehat{\vec a\vec b}$. Именно для этого определения и следует доказывать линейность. А то, что длины векторов выражаются через координаты -- это уже теорема. И следует это проще всего, между прочим, из второго, чисто координатного представления для скалярного произведения (хотя можно и без него).

[SpBTimes]

Линейность скалярного произведения, введенного как

ewert в сообщении #732628 писал(а):

: $\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot\vec b|\cdot\cos\widehat{\vec a\vec b}$

удобно доказывать, зная свойства проекций (точнее, предварительно их доказав)

[ewert]

(Оффтоп)

SpBTimes в сообщении #732661 писал(а):

удобно доказывать, зная свойства проекций (точнее, предварительно их доказав)

Я ровно так всегда и поступал. Это несколько извивисто с логической точки зрения (что не есть хорошо), но зато каждый следующий шаг не требует размышлений и получается на автомате (что хорошо есть).

[illuminates]

ewert

ewert в сообщении #732628 писал(а):

Правильное определение: $\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot\vec b|\cdot\cos\widehat{\vec a\vec b}$

Давайте с начала. Допустим я доказал линейность, но я всеравно не понимаю как доказывать. Через теорему косинусов получается, но это как то не интересно. Не из первых принципов так сказать. Есть еще варианты?

[ИСН]

Из первых принципов получится, что это равенство должно являться определением какого-то из участвующих в нём понятий (либо "косинус", либо "угол").

-- Ср, 2013-06-05, 12:46 --

ну, то есть если Вам теорема косинусов не нравится.