Определённый интеграл

[Dexter_Fl]

Здравствуйте!
Прошу помощи во взятии этого интеграла. Подскажите, с чего стоит начать?

\int_{0}^{\pi} ((x)\sin(x))/(2 + (\cos(x))^2) dx

[ewert]

Всю дробь, кроме икса -- под знак дифференциала.

[Ms-dos4]

ewert

(Оффтоп)

А поможет ли? Я что то не знаю, проинтегрируется ли в элементарных $\[\int {{\mathop{\rm arctg}\nolimits} [\frac{{\cos x}}{{\sqrt 2 }}]dx} \]$, думаю вряд-ли

[Otta]

Ms-dos4 в сообщении #732540 писал(а):

А поможет ли?

А мы его по морде чайником ))) ну и т.д.

Сделаем до всех телодвижений, предварительно, замену $x=\pi - y$.

[Dexter_Fl]

Otta
$ \pi - y $ же не меняет функцию. А минус косинуса уберет квадрат
Добавившееся выражение в числителе $ \pi - y $ изменит ход дела?

[Ms-dos4]

Otta

(Оффтоп)

Я юмора не понял. И по прежнему в упор не вижу как этот интеграл выражается через элементарные.

[ewert]

Ms-dos4 в сообщении #732540 писал(а):

А поможет ли? Я что то не знаю, проинтегрируется ли в элементарных $\[\int {{\mathop{\rm arctg}\nolimits} [\frac{{\cos x}}{{\sqrt 2 }}]dx} \]$

Проинтегрируется вряд ли, но чему он равен -- очевидно из соображений симметрии.

Otta в сообщении #732547 писал(а):

Сделаем до всех телодвижений, предварительно, замену $x=\pi - y$.

Ну только почему именно эту-то?

[Ms-dos4]

ewert

Цитата:

Проинтегрируется вряд ли, но чему он равен -- очевидно из соображений симметрии.

А, ну да у нас же определённый интеграл

[Dexter_Fl]

ewert

Верно ли я понял, что под симметрией имеется в виду свойство $\int_{0}^{\pi/2} f(\sin(x)) dx = \int_{0}^{\pi/2} f(\cos(x)) dx$

[ewert]

Dexter_Fl в сообщении #732565 писал(а):

Верно ли я понял, что под симметрией имеется в виду свойство $\int_{0}^{\pi/2} f(\sin(x)) dx = \int_{0}^{\pi/2} f(\cos(x)) dx$

Не знаю, возможно; но гораздо проще сдвинуть переменную на пи-пополам.

[Dexter_Fl]

Большое спасибо за помощь всем!

-- 04.06.2013, 21:09 --

Пришел к первообразной $ \sqrt{2}/2 \int\arctg(\cos x / \sqrt{2})$ , но вызвали затруднения выводы о значении интеграла. Т.е. мы можем из соображений чётности вычислить точное значение? Причем, очивидное?

[Otta]

ewert в сообщении #732559 писал(а):

Ну только почему именно эту-то?

кто сказал - именно эту? Например, эту. Так лучше?

(Оффтоп)

Что-то Вы придираетесь, милорд, чудится мне.

(Ms-dos4)

Ms-dos4 в сообщении #732558 писал(а):

Я юмора не понял. И по прежнему в упор не вижу как этот интеграл выражается через элементарные.

Ms-dos4, он тогда хорошо выразился бы сам через себя.

-- 04.06.2013, 23:22 --

Dexter_Fl в сообщении #732557 писал(а):

Otta
$ \pi - y $ же не меняет функцию. А минус косинуса уберет квадрат
Добавившееся выражение в числителе $ \pi - y $ изменит ход дела?

Изменит. Если Вам не видно, куда идти дальше тем способом, которым Вы уже успели походить, попробуйте. Надо написать... и увидеть.

(Оффтоп)

Я прошу прощения за прерванный несвоевременно разговор, но продолжать на том же месте не было возможности.

[provincialka]

Замена Ottaхорошая, ее можно и сразу к исходному интегралу применить, без "почастяма". Кстати, у кого какой ответ? Правда ли, что там $\pi$ получается в квадрате?

[Ms-dos4]

provincialka
Вы про интеграл в стартовом посте? У меня получилось $\[\frac{\pi }{{\sqrt 2 }}{\rm{arcctg}}\sqrt 2 \]$

[Otta]

provincialka в сообщении #732732 писал(а):

ее можно и сразу к исходному интегралу применить,

Собственно, я это и предлагала.
А $\pi$ вроде без квадрата.