Два примера гладкой неаналитической функции

[walking pendulum]

Здравствуйте!
Меня заинтересовала идея придумать задачку-подколку для студентов, которые проходят правила Лопиталя. А именно, предъявить две ненулевые бесконечно гладкие не аналитические функции, равные нулю в нуле и с нулевым разложением Тейлора в нём. И попросить посчитать предел отношения.

Один пример довольно известен -- это

$$f(x)= \begin{cases} e^{-1/x^2}, \text{ если $x$ не $0$}\\ 0 \text{ иначе}\\ \end{cases} $$

А вот со вторым примером как-то ничего в голову не приходит. Вернее, все что ни приходит, сводится к $f(cx)$, но это будет неинтересно из-за

$$\frac{e^a}{e^b}=e^{a-b}$$

Подскажите хороший пример?

[ewert]

Ну засадите туда четвёртую степень вместо второй; или, наоборот, корень из модуля. Вообще-то это довольно бессмысленное занятие: ясно, что любой другой пример будет того же типа, что и этот, только менее естественно смотрящимся.

[scwec]

Ну чего он влазит, куда не надо.

[walking pendulum]

Цитата:

Вообще-то это довольно бессмысленное занятие: ясно, что любой другой пример будет того же типа, что и этот, только менее естественно смотрящимся

Я что-то такое чувствую, но что значит это самое "такого же типа" применительно к этой затее -- непонятно. Экспонентой от чего-то? Но прологарифмировать тоже можно более менее что угодно, так что это ничего в понимании, можно сделать что-то интересное или нет -- не дает.

Цитата:

Ну засадите туда четвёртую степень вместо второй; или, наоборот, корень из модуля

Вы либо невнимательно прочли топик, либо я плохо выразился -- последняя выключная формула демонстрирует, что экспонента от элементарной функции для этой затеи не годится. Просто прологарифмируем и будем искать предел разности степеней, а не предел отношения функций.

Цитата:

а какое отношение правило Лопиталя имеет к аналитичности?

Если ряд Тейлора аналитической функции нулевой, то функция локально тождественно нулевая. Значит, с неизбежностью то, что мы ищем, будет неаналитично.

Вообще у меня появилась такая идея -- нужно задать функцию каким-нибудь рядом с общим членом типа

$$\frac{1}{\arctg(\frac{1}{(x+\pi/2)^n}) n!}$$

.
Может, это и оно, пока не сообразил.

[Oleg Zubelevich]

walking pendulum в сообщении #731611 писал(а):

Меня заинтересовала идея придумать задачку-подколку для студентов, которые проходят правила Лопиталя. А именно, предъявить две ненулевые бесконечно гладкие не аналитические функции, равные нулю в нуле и с нулевым разложением Тейлора в нём.

а может студентам лучше объяснить, что плоские в нуле функции образуют замкнутое подпространство в $C^\infty(-a,a)$ т.е. множество первой категории Бэра?

[walking pendulum]

Oleg Zubelevich в сообщении #731661 писал(а):

Меня заинтересовала идея придумать задачку-подколку для студентов, которые проходят правила Лопиталя. А именно, предъявить две ненулевые бесконечно гладкие не аналитические функции, равные нулю в нуле и с нулевым разложением Тейлора в нём.

а может студентам лучше объяснить, что плоские в нуле функции образуют замкнутое подпространство в $C^\infty(-a,a)$ т.е. множество первой категории Бэра?

Если отнестись к вашей реплике серьезно, то это по крайней мере другая затея. Возможно, она заинтересует вас :) То, что заинтересовало меня -- описано в топике.
Из содержательных замечаний.... Во-первых, рассказать о чем-то и дать задачку -- это две принципиально разных деятельности. И во-вторых, эту идею я задумал где-то возле выпуска из школы, когда у нас (в матклассе) был Лопиталь. И давать я ее планирую таким же школьникам. Про категории Бэра же я узнал, и то краем уха, только на 1 или 2 курсе университета, и особенно крутизной конструкции не проникся.

UPD предвосхищая вопросы про студентов из первого сообщения, в последнем превратившихся в школьников -- просто лень было объясняться. уж разобраться, владеет ли школьник вещами, имеющимися в условии, перед дачей задачи -- само собой разумеется.

[Oleg Zubelevich]

walking pendulum в сообщении #731666 писал(а):

Про категории Бэра же я узнал, и то краем уха, только на 1 или 2 курсе университета, и особенно крутизной конструкции не проникся.

А надо бы. Множество первой категории Бэра это, говоря неформально, ничтожно малое множество с топологической точки зрения. Если функцию из этого множества сколь угодно мало возмутить, то полученная функция уже лежать в этом множестве не будет. В частности, сколь угодно малое возмущение плоской функции уже не является плоской функцией.
Вот Лопиталь не работает на множестве первой категории. Дать задачку можно, придумывать какие-то продвинутые примеры и развивать эту тему просто нет смысла в силу выше сказанного.

[ewert]

walking pendulum в сообщении #731656 писал(а):

Вы либо невнимательно прочли топик, либо я плохо выразился -- последняя выключная формула демонстрирует, что экспонента от элементарной функции для этой затеи не годится.

Вы крайне плохо выразились.

Что такое экспонента-то? -- это всего лишь одна из элементарных функций, не более и не менее. Да, с её помощью контрпример строится наиболее лаконично. Вам хочется ещё большей лаконичности?... или Вам хочется контрпримера, выражающегося через функции исключительно неэлементарные?... -- или Вам вообще чего-то хочется?...

Поставьте же задачу, в конце-то концов.

[walking pendulum]

Цитата:

Поставьте же задачу, в конце-то концов.

Вы правы, поставил бы -- уже и сам бы давно решил :)
Пожалуй, я поторопился задавать вопрос, не разобравшись, чего же собственно хочу.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Вопросы преподавания»
Перенёс в соответствующий раздел

[g______d]

Можно еще такое вспомнить: плоские в нуле функции образуют идеал в кольце $C^{\infty}(-a;a)$. Угадайте, чему изоморфно факторкольцо.

[Oleg Zubelevich]

кольцу голоморфных в нуле функций и гладких на $(-a,a)$

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #732683 писал(а):

кольцу голоморфных в нуле функций и гладких на $(-a,a)$

Берите шире :)

[Oleg Zubelevich]

сдаюсь

[g______d]

$\mathbb C[[x]]$.

Собственно, кажется, Вы раньше и писали, как сделать произвольными коэффициенты Тейлора у гладкой функции. Ну и понятно, что функция ими определяется с точностью до плоской в нуле.