Как объяснить геом. и физ. смыслы производной по направлению

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #730941 писал(а):

И приучать студентов к языку дифференциальных форм с самого начала.

Ну, это смотря каких студентов. Всё-таки
- во-первых, обязательно им надо давать язык и более простых обозначений, чтобы они могли общаться с окружающими;
- и во-вторых, если в жизни дифформы им нафиг не понадобятся (например, технарям), то незачем и грузить.

ewert в сообщении #731040 писал(а):

Это потому, что Вы просто не в курсе иерархии математических объектов. Первичным объектом является именно производная по Фреше, т.е. в данном случае функционал. И уже гораздо позже, уже после введения базисов (если таковое вообще возможно) появляются заклинания типа "ковекторов".

Да, наверное, я не в курсе. Я слышал другую систему определений, где никаких базисов для ковекторов НАФИГ НЕ НАДО БЫЛО!!! И ваше мнение мне, как я уже сказал, четвертично.

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #731040 писал(а):

появляются заклинания типа "ковекторов". Как сугубо технический элемент, и ни разу не идейный.

ковекторы не идейный элемент? Как далеко шагнула педагогическая наука...

-- Сб июн 01, 2013 00:05:32 --

Munin в сообщении #731055 писал(а):

во-первых, обязательно им надо давать язык и более простых обозначений, чтобы они могли общаться с окружающими;

вот как раз в учебнике Зорича все это очень гармонично сделано

Munin в сообщении #731055 писал(а):

(например, технарям), то незачем и грузить.

чем грузить технарей -- это , по-моему, вообще вопрос неразрешимый

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #731055 писал(а):

никаких базисов для ковекторов НАФИГ НЕ НАДО БЫЛО!!!

Ковектор -- это то, что преобразуется соответствующим образом. Если конкретные преобразования не обсуждались, то это ровно функционал, и точка. Нефиг пудрить мозги терминологией.

Oleg Zubelevich в сообщении #731066 писал(а):

ковекторы не идейный элемент? Как далеко шагнула педагогическая наука...

Наука тут совершенно не при чём. Речь лишь о том, что когда уместно, а что нет. Вы никогда в жизни ничего не преподавали (как о том свидетельствуют Ваши представления об олимпиадностях, скажем), потому и знать об этом ничего не можете.

[Munin]

(ewert)

ewert в сообщении #731082 писал(а):

Ковектор -- это то, что преобразуется соответствующим образом.

Ковектор - это элемент дуального пространства $V^*.$ Учите определения! Боже, не знал, что вам это скажу.

ewert в сообщении #731082 писал(а):

Если конкретные преобразования не обсуждались, то это ровно функционал, и точка.

Разумеется, но почему вы об этом вспомнили через два метра спора? Вот это меня в тупик ставит.

ewert в сообщении #731082 писал(а):

Вы никогда в жизни ничего не преподавали

Ваш опыт преподавания тоже не играет вам на руку: вы привыкли только к одному-единственному способу изложения, к тому же, наплевав на то, насколько он подходит к целям преподавания (у вас цель, видимо, - уложиться в часы, и всё тут, а там трава не гори).

(Oleg Zubelevich)

Oleg Zubelevich в сообщении #731066 писал(а):

чем грузить технарей -- это , по-моему, вообще вопрос неразрешимый

Possibly. Но некоторые, типа ewert-а, постоянно им занимаются, и как-то выкручиваются, и этому тоже можно/нужно/стоит (нужное подчеркнуть) посочувствовать.

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #731154 писал(а):

Ковектор - это элемент дуального пространства $V^*.$ Учите определения!

Учите. Не дуальное, а сопряжённое. И не ковектор, а функционал. Вторые термины -- это сужение на конечномерный случай первых. Сужать без необходимости не следует.

Munin в сообщении #731154 писал(а):

Разумеется, но почему вы об этом вспомнили через два метра спора?

Потому, что это лишь одна-две фразы -- много меньше, чем всё остальное. Вот прошлосеместровый список вопросов, относящихся к функциям нескольких переменных.

Цитата:

10. Нормы векторов и их эквивалентность. Критерий Коши. Открытость и замкнутость множеств.
11. Предел и непрерывность функций нескольких переменных. Теоремы Вейерштрасса и Кантора.
12. Частные производные функции нескольких переменных, дифференцируемость.
13. Дифференцирование векторной функции векторного аргумента. Матрица Якоби. Производная сложной функции, частные случаи.
14. Теоремы об обратной функции и о неявно заданной функции.
15. Производная по направлению. Градиент и его геометрический смысл.
16. Уравнения касательной и нормали к поверхности.
17. Уравнения касательной и нормали к линии в пространстве.
18. Производные высших порядков. Перестановка порядков дифференцирования.
19. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.
20. Необходимое и достаточные условия экстремума функции нескольких переменных.
21. Дивергенция и ротор. Векторные дифференциальные операции второго порядка.

Он такой плотный потому, что бОльшая часть утверждений не доказывалась, а лишь объяснялась на пальцах (например, в теореме об обратной функции я отделывался в оправдание парой фраз типа "в первом приближении отображение линейно, и отсюда в конце концов всё следует"). Главным образом из-за того, что читалось это в аварийном порядке: всё это (кроме последнего вопроса) должны были начитать по плану ещё до меня, во втором семестре, но по техническим причинам не успели.

Так вот, производная по Фреше упоминается здесь дважды -- в 12-м и 13-м вопросе. Разумеется, без упоминания самой фамилии и с немедленным переходом к координатной записи; однако менее фрешёвым определение дифференцируемости от этого не становится. Во всяком случае, а) такое определение принципиально и обязательно как отправная точка, но и б) занимает совершенно незначительное место в курсе. Ковекторность же сюда просто не уместилась (хотя в скрытом виде она и содержится, конечно, в теореме о сложной функции).

[Munin]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #731194 писал(а):

Вторые термины -- это сужение на конечномерный случай первых.

А бесконечномерный, значит, уже не ковектор? И почему же, интересно?

ewert в сообщении #731194 писал(а):

Так вот, производная по Фреше упоминается здесь дважды -- в 12-м и 13-м вопросе. Разумеется, без упоминания самой фамилии и с немедленным переходом к координатной записи; однако менее фрешёвым определение дифференцируемости от этого не становится. Во всяком случае, а) такое определение принципиально и обязательно как отправная точка, но и б) занимает совершенно незначительное место в курсе. Ковекторность же сюда просто не уместилась (хотя в скрытом виде она и содержится, конечно, в теореме о сложной функции).

Ну что ж. Принимается как оправдание для вашего конкретного курса, причём прочитанного один раз в аварийном порядке и скомканном виде. Но отсюда вовсе не следует, что так делать следует всегда, и тем более при основательном подходе.

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #731226 писал(а):

А бесконечномерный, значит, уже не ковектор?

Да хоть горшком назовите, просто так не принято. Понятие ковектора подразумевает определённые правила преобразования координат, чего в бесконечномерном случае нет.

Есть общепринятые правила игры. Операторы или последовательности никто не называет функциями, хотя и то, и другое, безусловно, функции. Элементы функциональных пространств никто не называет векторами, хотя это, безусловно, векторы. И т.д.

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #731194 писал(а):

Не дуальное, а сопряжённое

А это одно и тоже, первый термин характерен для английскоко языка, а второй для русского. Просто статьи читать надо, а не только лекции студентам.

-- Сб июн 01, 2013 13:41:08 --

ewert в сообщении #731194 писал(а):

Вторые термины -- это сужение на конечномерный случай первых

а какое отношение бесконечномерный случай имеет к стартовому посту?

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #731232 писал(а):

А это одно и тоже, первый термин характерен для английскоко языка, а второй для русского.

А это Вы сейчас на каком языке написали?...

[RIP]

(Оффтоп)

Ms-dos4 в сообщении #730732 писал(а):

Объясняйте как проекцию градиента на нужное направление.

Это верно только для дифференцируемых функций.

[Munin]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #731230 писал(а):

Понятие ковектора подразумевает определённые правила преобразования координат

Да где же, где? Даже размерность, будь она трижды известна, введения системы координат не подразумевает.

ewert в сообщении #731230 писал(а):

Есть общепринятые правила игры. Операторы или последовательности никто не называет функциями, хотя и то, и другое, безусловно, функции. Элементы функциональных пространств никто не называет векторами, хотя это, безусловно, векторы. И т.д.

Это не правила игры, а местечковые традиции. Впрочем, вы свою местечковость давно уже экстраполируете на всех вокруг, это для меня не новость.

Например, в квантовой механике элементы функциональных пространств называют векторами постоянно, и ничего.

-- 01.06.2013 16:35:19 --

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #731232 писал(а):

А это одно и тоже, первый термин характерен для английскоко языка, а второй для русского.

То есть, по-русски правильно всё-таки сопряжённое? Спасибо, понятно. Буду стараться говорить правильно. Сам не люблю смешивать термины разных языках, в крайнем случае так и пишу латиницей: dual space.

Oleg Zubelevich в сообщении #731232 писал(а):

а какое отношение бесконечномерный случай имеет к стартовому посту?

Таки +1.

[ewert]

Munin в сообщении #731288 писал(а):

Например, в квантовой механике элементы функциональных пространств называют векторами постоянно,

Это в квантовой механике. Там это, скорее всего, рудимент "матричной механики". А вот в функциональном анализе -- не называют. Тем более не называют в просто анализе.

Munin в сообщении #731288 писал(а):

Даже размерность, будь она трижды известна, введения системы координат не подразумевает.

Не размерность, а конечномерность. Конечномерность необходима для введения координат -- и, наоборот, автоматически влечёт за собой такое введение.

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #731293 писал(а):

А вот в функциональном анализе -- не называют.

опять пальцем в небо. Шефер в "топологич. венкторных пространствах" называет, Робертсоны называют.

[Xaositect]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #731288 писал(а):

То есть, по-русски правильно всё-таки сопряжённое? Спасибо, понятно. Буду стараться говорить правильно. Сам не люблю смешивать термины разных языках, в крайнем случае так и пишу латиницей: dual space.

"Dual", как правило, переводится как "двойственное". Термин "двойственное пространство" я точно где-то видел.

[Oleg Zubelevich]

видели, например, в словосочетании "дуальная пара" или "пространства в двойственности", и что?