Как объяснить геом. и физ. смыслы производной по направлению

[Ktina]

(вопросительный знак в заголовок не поместился)

Попросила меня одна студентка объяснить ей смысл производной по направлению.
То есть, формулу она вызубрила и научилась механически её применять (апропо, Китайская комната). А вот смысл...
Геометрический я ей ещё кое-как растолковала. Типа, вот стоишь ты на горе и если пойдёшь в заданном направлении, крутизна твоего подъёма (или спуска) будет такая-то и такая-то. А вот физический смысл...
Да и насчёт геометрического я не полностью уверена.
Однако, жаль терять хорошую студентку, посему обращаюсь за помощью к форуму.

Заранее спасибо!

[Ms-dos4]

Ktina
Объясняйте как проекцию градиента на нужное направление. Ну а физический смысл - скорость изменения величины в данной точке при движении в конкретном направлении.

[Munin]

Ktina в сообщении #730720 писал(а):

Геометрический я ей ещё кое-как растолковала. Типа, вот стоишь ты на горе и если пойдёшь в заданном направлении, крутизна твоего подъёма (или спуска) будет такая-то и такая-то. А вот физический смысл...

А какой ещё есть? Физический? Расскажите! Никогда не слышал.

Ktina в сообщении #730720 писал(а):

Да и насчёт геометрического я не полностью уверена.

Я уверен.

[Ktina]

Ms-dos4 в сообщении #730732 писал(а):

Ktina
Объясняйте как проекцию градиента на нужное направление.

Это равносильно обоснованию евклидовой геометрии через аналитическую, поскольку понятие градиента определяется через понятие производной по направлению, а не наоборот.
Кроме того, сперва изучают производную по направлению, а уж потом градиент.

-- 31.05.2013, 14:47 --

Munin в сообщении #730760 писал(а):

А какой ещё есть? Физический? Расскажите! Никогда не слышал.

Мне казалось, что он должен быть. У обычной же производной он есть...

[Ms-dos4]

Munin в сообщении #730760 писал(а):

А какой ещё есть? Физический? Расскажите! Никогда не слышал.

Под "физическим" смыслом обычно понимают скорость изменения величины, да и только...

Ktina в сообщении #730767 писал(а):

Это равносильно обоснованию евклидовой геометрии через аналитическую, поскольку понятие градиента определяется через понятие производной по направлению, а не наоборот.
Кроме того, сперва изучают производную по направлению, а уж потом градиент.

Это равносильно перестановке элементов в коммутативной операции. Что изучать раньше - вопрос удобства(более того, всё равно это будет в одной лекции). Мне удобнее сначала ввести градиент, а затем производную по направлению как его проекцию.
P.S.Понятие градиента определяется через частные производные (ну вы конечно можете их назвать производными по направлению осей координат, но их то раньше учат).

[Munin]

Ktina в сообщении #730767 писал(а):

Мне казалось, что он должен быть. У обычной же производной он есть...

У обычной производной "их несколько". Там, где встречается в физике производная - там и физический смысл. Но производная по направлению встречается в физике намного реже, чем обычная производная.

Ktina в сообщении #730767 писал(а):

Кроме того, сперва изучают производную по направлению, а уж потом градиент.

Ну это уж кому как захочется. Имхо, рассказать про касательную плоскость к поверхности - никаких проблем.

Ms-dos4 в сообщении #730772 писал(а):

Под "физическим" смыслом обычно понимают скорость изменения величины, да и только...

Тут этого точно не годится. "Скорость изменения" - это подразумевает производную по времени. А где у нас многомерное время? Правильно, не в физике.

P. S. На самом деле, оба смысла математические. Просто производную изобрели два разных человека: Ньютон и Лейбниц. Ньютон её изобрёл как производную по времени, а Лейбниц - как наклон графика. И до сих пор от этих двух учёных идут две разные традиции, хотя и оставшиеся в основном только в обозначениях: по Ньютону $f(t),f'(t),$ а по Лейбницу $y(x),\tfrac{dy}{dx}.$ Кроме обозначений, все понимают, что по смыслу это одно и то же.

Ms-dos4 в сообщении #730772 писал(а):

P.S.Понятие градиента определяется через частные производные

А вот это нежелательно. Это примерно то же, что изучать понятие вектора через координаты. Но вектор же - это стрелочка! Он существует, даже когда никаких координат в помине нет. Напротив, координаты - всего лишь способ работать с вектором, а не он сам (он сам - в некоторых случаях, например, когда мы рассматриваем кортежи чисел как векторы).

[Ms-dos4]

Munin

Цитата:

"Скорость изменения" - это подразумевает производную по времени. А где у нас многомерное время? Правильно, не в физике.

Я там кавычки поставить забыл. Суть всё равно в том, как быстро изменяется функция в точке при движении в заданном направлении. Но, конечно, к физике это прямого отношения не имеет.

Цитата:

А вот это нежелательно. Это примерно то же, что изучать понятие вектора через координаты. Но вектор же - это стрелочка! Он существует, даже когда никаких координат в помине нет. Напротив, координаты - всего лишь способ работать с вектором, а не он сам (он сам - в некоторых случаях, например, когда мы рассматриваем кортежи чисел как векторы).

Легко показать, что закон преобразования величины $\[\nabla \varphi \]$ при замене координат - такой же, как у (ко)векторов. Т.е. это тоже (ко)вектор. Это нужно просто понять и дальше не заморачиваться с определениями.

[Munin]

Ms-dos4 в сообщении #730787 писал(а):

Легко показать, что закон преобразования величины $\[\nabla \varphi \]$ при замене координат - такой же, как у (ко)векторов. Т.е. это тоже (ко)вектор.

Легко показать. Но логику лучше излагать в обратную сторону: $\nabla\varphi$ - ковектор (при наличии скалярного произведения вектор), и именно поэтому закон преобразования его компонент - такой же, как у (ко)векторов. А до введения системы координат, у него и компонент никаких нет. Потому что иначе последнее утверждение придётся вдалбливать очень долго и с большим трудом (и с не стопроцентным выходом).

[ewert]

Munin в сообщении #730800 писал(а):

Но логику лучше излагать в обратную сторону: $\nabla\varphi$ - ковектор (при наличии скалярного произведения вектор), и именно поэтому закон преобразования его компонент - такой же, как у (ко)векторов.

Он и без скалярного произведения ковектор, и со скалярным. А в обратную сторону -- это теоретически, и только для стерильных математиков. Практически же даже стерильным понятие градиента оказывается нужным задолго до того, как станут уместными ковекторы.

[Munin]

ewert в сообщении #730826 писал(а):

Он и без скалярного произведения ковектор, и со скалярным.

Я в курсе. Учитесь читать: со скалярным - он вектор.

ewert в сообщении #730826 писал(а):

А в обратную сторону -- это теоретически, и только для стерильных математиков.

Глубочайше заблуждаетесь. Это остро необходимо всем практическим физикам.

[ewert]

Munin в сообщении #730868 писал(а):

Это остро необходимо всем практическим физикам.

"Практически физик" -- это почти физик, да?

Я не утверждал, что производные по Фреше вообще не нужны. Я говорил лишь, что на момент появления градиента они преждевременны.

[Munin]

ewert в сообщении #730874 писал(а):

Я говорил лишь, что на момент появления градиента они преждевременны.

Позвольте отнестись к этому мнению с глубоким игнором.

-- 31.05.2013 19:16:48 --

(Пояснение для Ktina): Градиент - это информация о том, как наклонена касательная плоскость к поверхности, а выразить это можно по-разному. Поначалу, когда арсенал средств у студента невелик, это выражают как линию со стрелочкой. Потом, когда появляются в запасе новые инструменты (ковекторы), можно и про градиент говорить на другом языке (и называть его высокопарными словами типа "производная Фреше"). Но суть остаётся та же самая с самого начала.

[Oleg Zubelevich]

по-моему в хорошем курсе анализа (Зорич напимер) всетаки надо объяснять, что $df$ это линейная функция. И инвариантность доказывать. И приучать студентов к языку дифференциальных форм с самого начала.

[Ktina]

Munin в сообщении #730876 писал(а):

(Пояснение для Ktina): Градиент - это информация о том, как наклонена касательная плоскость к поверхности, а выразить это можно по-разному. Поначалу, когда арсенал средств у студента невелик, это выражают как линию со стрелочкой. Потом, когда появляются в запасе новые инструменты (ковекторы), можно и про градиент говорить на другом языке (и называть его высокопарными словами типа "производная Фреше"). Но суть остаётся та же самая с самого начала.

Спасибо, теперь буду знать.

[ewert]

Munin в сообщении #730876 писал(а):

(и называть его высокопарными словами типа "производная Фреше")

Это потому, что Вы просто не в курсе иерархии математических объектов. Первичным объектом является именно производная по Фреше, т.е. в данном случае функционал. И уже гораздо позже, уже после введения базисов (если таковое вообще возможно) появляются заклинания типа "ковекторов". Как сугубо технический элемент, и ни разу не идейный.