Поток векторного поля.

[GlazkovD]

Поток векторного поля.


Вопрос по решению задачи

Есть функция векторного поля

$$F=Pi+Qj+Rk$$

где

$$P,Q,R$$

функции от

$$xyz$$

.
Требуется найти поток векторного поля F
через плоскость треугольника $\sigma$ вырезанного
из плоскости

$$p(x,y,z)$$

координатными плоскостями в том направлении
нормали к плоскости , которая образует с осью Oz острый угол.

Я хочу воспользоваться формулой выражения потока

$$\int_{\sigma}^{} \int_{}^{} (Pcos(a)+Qcos(b)+Rcos(c)) d\sigma$$

где

$$cos(a) cos(b) cos(c)$$

координаты единичного вектора нормали к поверхности.
(Видно что это поверхностный интеграл)
Далее его(после составления) можно считать таким:

$$\int_{\sigma}^{} \int_{}^{} \phi (x,y,z) d\sigma$$

это же

$$\int_{S}^{} \int_{}^{} \phi (x,y,z(x,y)) \sqrt{1+{{(\frac {dz} {dx})} ^2} +{{(\frac {dz} {dy}}) ^2}} dxdy$$

Только последний является обычным двойным интегралом по области S- Проекции поверхности

$$\sigma$$

на OXY

ВОПРОС:
Как в таком случае выражается в вышесказанных выкладках z(x,y) ?
Как составить единичный вектор нормали, что бы он был ориентирован с нужной стороны поверхности? Заранее спасибо.

[MMyaf]

1)

$$p(x,y,z)=Ax+By+Cz+D=0$$

-плоскость.

$$z(x,y)=-\frac{D+Ax+By}{C}$$

2)

$$\vec n=(\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}})$$

-нормаль к плоскости.

$$\vec oz=(0,0,1)$$

.
Скалярно умножаем

$$\vec n$$

на

$$\vec oz$$

. Если результат умножение положителен, то угол между

$$\vec n$$

и

$$\vec oz$$

острый. Если отрицателен, то нормаль надо переориентировать, умножив ее на -1.

[GlazkovD]

MMyaf большое спасибо. Буду пытаться решить свое задание

[GlazkovD]

Вопрос еще такой

$$\int_{\sigma}^{} \int_{}^{} \phi (x,y,z) d\sigma$$

это же

$$\int_{S}^{} \int_{}^{} \phi (x,y,z(x,y)) \sqrt{1+{{(\frac {dz} {dx})} ^2} +{{(\frac {dz} {dy}}) ^2}} dxdy$$

Только последний является обычным двойным интегралом по области S- Проекции поверхности

$$\sigma$$

на OXY

Годится ли данная формула для подсчета
получившегося интеграла по поверхности в случае плоскости ?
В данную формулу уже вошла проекция вектороного поля

$$F$$

на указанную в задаче нормаль и все это слилось в

$$\phi (x,y,z) $$

[Brukvalub]

GlazkovD писал(а):

Годится ли данная формула для подсчета
получившегося интеграла по поверхности в случае плоскости ?

Годится.