2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Помогите найти базис пересечения линейных оболочек
Сообщение30.05.2013, 18:13 


30/05/13
12
Даны такие оболочки:
$a_1=(1,2,1)$
$a_2=(1,1,-1)$
$a_3=(1,3,3)$

$b_1=(1,2,2)$
$b_2=(2,3,-1)$
$b_3=(1,1,-3)$

Я нашел базис суммы этих оболочек. Но вот с пересечением возникли проблемы. Решал с помощью подстановки справа к каждой оболочке единичной матрицы. Не получается ответ. Гугл дал очень разностороннюю информацию о алгоритмах, по которым это можно найти. Если у кого есть проверенный, действенный алгоритм, прошу поделитесь! Очень надо! :) Заранее большое спасибо! :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти базис пересечения линейных оболочек
Сообщение30.05.2013, 23:43 
Заслуженный участник


23/07/08
9151
Харьков
Будем считать, что $\{a_i\}_1^m$ и $\{b_i\}_1^n$ -- это базисы линейных оболочек (построенные каким-нибудь способом из двух первоначально данных систем векторов). Стало быть, система $\{a_i\}$ линейно независима, система $\{b_i\}$ также.

Любой вектор $p$, входящий в пересечение оболочек, является как линейной комбинацией $\{a_i\}$, так и линейной комбинацией $\{b_i\}$:
$p=\sum\limits_1^m \alpha_i a_i = -\sum\limits_1^n \beta_i b_i$
Значит, если пересечение содержит ненулевые векторы, система уравнений
$\sum\limits_1^m \alpha_i a_i + \sum\limits_1^n \beta_i b_i =0$
относительно $\alpha_i$, $\beta_i$ имеет нетривиальное решение. Наоборот, любое нетривиальное решение этой системы дает ненулевой вектор $p$, входящий в пересечение оболочек.

Матрица системы уравнений состоит из $m+n$ столбцов, каждый столбец содержит компоненты соответствующего вектора $a_i$ или $b_i$.

В Вашем случае обе системы векторов линейно зависимы: $2a_1=a_2+a_3$, $b_2=b_1+b_3$. Чтобы получить базисы, выбросим $a_3$ и $b_3$. Составляем систему уравнений:$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & -1 & 2 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\alpha_1\\\alpha_2\\\beta_1\\\beta_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}$$Решение: $\alpha_1=2, \alpha_2=1, \beta_1=-1, \beta_2=-1$, что дает вектор
$p=2a_1+a_2=b_1+b_2=(3, 5, 1)$
Он является линейной комбинацией как векторов $a_i$, так и $b_i$, значит, принадлежит пересечению линейных оболочек.

Это мы нашли один вектор. Попробуйте сами придумать, как получить остальные, если они есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти базис пересечения линейных оболочек
Сообщение31.05.2013, 17:13 


30/05/13
12
Спасибо вам за такой развернутый и умный ответ. Честно говоря, такого способа еще не встречал. :) И это вроде бы самый простой.
В ответ был указан только вектор, который вы нашли. Других не вижу смысла искать. Можно лучше попробовать следующий пример.
Но вот хотелось бы узнать, почему вы выкинули именно векторы $a_3$ и $b_3$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти базис пересечения линейных оболочек
Сообщение31.05.2013, 17:25 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
Rebirther в сообщении #730842 писал(а):
почему вы выкинули именно векторы $a_3$ и $b_3$?

Очевидно, что размерность каждой линейной оболочки не меньше двух (иначе все векторы в каждой оболочке были бы пропорциональными). Но и не больше двух, т.к. в каждой тройке векторы зависимы. Следовательно, размерности равны двум, и выкинуть нужно по одному -- любому, лишь бы оставшиеся пары были независимы. А они все попарно независимы, потому и неважно, что выкидывать; так почему бы и не третьи?

Rebirther в сообщении #730842 писал(а):
В ответ был указан только вектор, который вы нашли. Других не вижу смысла искать.

Да, но обязательно нужно видеть, почему именно не видно смысла.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти базис пересечения линейных оболочек
Сообщение31.05.2013, 17:51 
Заслуженный участник


23/07/08
9151
Харьков
Rebirther в сообщении #730842 писал(а):
Но вот хотелось бы узнать, почему вы выкинули именно векторы $a_3$ и $b_3$?
В дополнение к тому, что сказал ewert. Мне хотелось, чтобы, с одной стороны, нумерация векторов в базисах соответствовала нумерации в исходных линейно зависимых системах, а с другой, чтобы она была без "дыр".

Скажем, если бы я выбросил из первой системы вектор $a_2$, а из второй вектор $b_1$, то неизвестные были бы $\alpha_1, \alpha_3, \beta_2, \beta_3$, как-то это несимпатично. А переименовывать их, чтобы убрать пропуски -- значит запутать читателя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти базис пересечения линейных оболочек
Сообщение31.05.2013, 18:19 


30/05/13
12
Спасибо. Теперь всё понятно. :-) Будем идти дальше по пути линейной алгебры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти базис пересечения линейных оболочек
Сообщение01.06.2013, 13:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5730
Новосибирск
Другой вариант. Если задан базис подпространства $a_1, \ldots , a_s$, то система $(a_i, x)=0, \ i=1,\ldots, s$ задаёт ортогональное дополнение к этому подпространству. Фундаментальный набор решений даст базис этого ортогонального дополнения. По предыдущему получаем систему уравнений, задающую ортогональное дополнение к ортогональному дополнению, то есть исходное подпространство.
В результате хождений туда-сюда мы имеем способ перехода от одного задания подпространства (базисом или системой образующих) к другому - с помощью однородной системы линейных уравнений.
Теперь если даны два подпространства, то для описания их пересечения удобно их задать системами, а их пересечение будет описываться объединением систем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти базис пересечения линейных оболочек
Сообщение03.06.2013, 11:19 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
bot в сообщении #731235 писал(а):
Теперь если даны два подпространства, то для описания их пересечения удобно их задать системами, а их пересечение будет описываться объединением систем.

Лучше сформулировать то же самое более абстрактно: ортогональное дополнение к пересечению есть сумма ортогональных дополнений. Тем самым исходная задача о поиске пересечения распадается на цепочку шаблонных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти базис пересечения линейных оболочек
Сообщение20.02.2018, 20:11 


16/01/18
4
Поясните, пожалуйста, как мы нашли, что
Цитата:
Решение: $\alpha_1=2, \alpha_2=1, \beta_1=-1, \beta_2=-1$, что дает вектор

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти базис пересечения линейных оболочек
Сообщение21.02.2018, 01:01 
Заслуженный участник


16/02/13
3900
Владивосток
Обычным путём (стоило б дать цитату, по-моему, из Винни-Пуха, но, увы, память...)
Способов решения (в том числе, недоопределённых) систем линейных уравнений — их много. Хотя б метод Гаусса поищите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти базис пересечения линейных оболочек
Сообщение21.02.2018, 04:48 


16/01/18
4
iifat в сообщении #1293504 писал(а):
Обычным путём (стоило б дать цитату, по-моему, из Винни-Пуха, но, увы, память...)
Способов решения (в том числе, недоопределённых) систем линейных уравнений — их много. Хотя б метод Гаусса поищите.

Получается нулевое и бесконечное количество решений, которое выражается, через свободную переменную, а как получить числовое?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти базис пересечения линейных оболочек
Сообщение21.02.2018, 07:09 
Заслуженный участник


16/02/13
3900
Владивосток
Дык для недоопределённой — никак же ж. Если хочется примеров — можно подставить вместо свободной переменной свободное число. Если у системы бесконечное количество решений, то так оно и есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти базис пересечения линейных оболочек
Сообщение21.02.2018, 07:34 


16/01/18
4
iifat в сообщении #1293520 писал(а):
Дык для недоопределённой — никак же ж. Если хочется примеров — можно подставить вместо свободной переменной свободное число. Если у системы бесконечное количество решений, то так оно и есть.

Как тогда решение системы, из примера получили?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти базис пересечения линейных оболочек
Сообщение21.02.2018, 10:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17735
Москва
Дык, а в чём проблема-то? Ежели у Вас есть общее решение системы, выраженное через какие-то параметры, то кто мешает получить из него миллион частных, подставляя вместо параметров какие-нибудь числа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти базис пересечения линейных оболочек
Сообщение21.02.2018, 10:58 


16/01/18
4
Someone в сообщении #1293538 писал(а):
Дык, а в чём проблема-то? Ежели у Вас есть общее решение системы, выраженное через какие-то параметры, то кто мешает получить из него миллион частных, подставляя вместо параметров какие-нибудь числа?

И все вектора решений, будут пересечением подпространств?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group