Пирамида.

[mr.tumkan]

Подскажите, пожалуйста, как можно сделать эту задачу без привлечения аналитической геометрии?

$S$ -- вершина правильной четырехуг. пирамиды $SABCD$, известно, что сторона основания $AB=6$. Точка $K$ -- середина $SB$. Угол между прямыми $DS$ и $AK$ равен $60^{o}$. Найдите высоту пирамиды.

У меня лишь пришла идея переноса параллельного $AK$ на $SK'$ ($AK'SK$ - параллелограмм.), то есть угол $\angle DSK'=60^o$, но а дальше пока не очевидно что делать. Если вдруг узнаю длину бокового ребра, то дальше мне очевидно.

[Someone]

А если продолжить $SK'$ до пересечения с плоскостью основания?

[TOTAL]

Из прямоугольного треугольника $AOK$ с углом $60^{o}$ быстро все находится.

[mr.tumkan]

TOTAL в сообщении #730272 писал(а):

Из прямоугольного треугольника $AOK$ с углом $60^{o}$ быстро все находится.

Спасибо. Получился ответ $\sqrt{6}$.

-- 30.05.2013, 10:23 --

Someone в сообщении #730260 писал(а):

А если продолжить $SK'$ до пересечения с плоскостью основания?

Спасибо+)

[Someone]

Насколько я понимаю, это задача С2 из ЕГЭ. У этих задач, как правило, более одного решения. В частности, в данной задаче угол $60^{\circ}$ может быть другим (смежным тому, который Вы нарисовали).

[ewert]

Someone в сообщении #730857 писал(а):

У этих задач, как правило, более одного решения. В частности, в данной задаче угол $60^{\circ}$ может быть другим (смежным тому, который Вы нарисовали).

Это если бы по высоте надо было найти угол. Тогда формально да, как это ни глупо. Но найти-то надо наоборот, а высота по углу определяется однозначно.

[Someone]

Я не об этом. Вот пусть у нас есть две прямые $AB$ и $CD$, пересекающиеся в точке $K$, причём, на прямой $CD$ точка $K$ лежит между $C$ и $D$. "Угол между $AB$ и $CD$" - это $\angle AKC$ или $\angle AKD$? Который из них нужно принять за $60^{\circ}$?

[Батороев]

Someone в сообщении #730878 писал(а):

Я не об этом. Вот пусть у нас есть две прямые $AB$ и $CD$, пересекающиеся в точке $K$, причём, на прямой $CD$ точка $K$ лежит между $C$ и $D$. "Угол между $AB$ и $CD$" - это $\angle AKC$ или $\angle AKD$? Который из них нужно принять за $60^{\circ}$?

Если в задаче про пирамиду за $60^{\circ}$ принять угол, смежный с тем, что обозначен на чертеже, то по всей видимости, пирамида должна быть основанием вверх (отчего ответ не изменится).

[ewert]

Someone в сообщении #730878 писал(а):

Который из них нужно принять за $60^{\circ}$?

А может ли в этой задачке тот угол, который мы приняли за $60^{\circ}$, вдруг оказаться равным $120^{\circ}$?...

[Батороев]

ewert в сообщении #731197 писал(а):

Someone в сообщении #730878 писал(а):

Который из них нужно принять за $60^{\circ}$?

А может ли в этой задачке тот угол, который мы приняли за $60^{\circ}$, вдруг оказаться равным $120^{\circ}$?...

Сдается мне, что Someone был бы прав при заданном угле, большем $\arctg{2}$.

[ewert]

Батороев в сообщении #731209 писал(а):

Сдается мне, что Someone был бы прав при заданном угле, большем $\arctg{2}$.

Безусловно, был бы. Это известная теорема: если дважды два пять, то баба-яга.

[Батороев]

Наверное все же, $\arctg{2}$ - это ограничение угла сверху.

[ewert]

Именно потому и был бы прав. Чем он хуже бабы-яги?...

[Батороев]

ewert в сообщении #731210 писал(а):

Безусловно, был бы. Это известная теорема: если дважды два пять, то баба-яга.

Странный стиль ответов ныне в моде на форуме!

Мне показалось, что при уменьшении высоты пирамиды угол растет и переходит через значение 90 градусов, а затем снова снижается до значения $\arctg{2}$ при нулевой высоте пирамиды. Поразмыслив немного, склонился к тому, что угол растет до этого значения, не превосходя его.

-- 01 июн 2013 16:32 --

Если бы я был прав в своем первом варианте, то для углов от $\arctg{2}$ до $\frac {\pi}{2}$ ответов было бы два.

[ewert]

Батороев в сообщении #731215 писал(а):

Мне показалось, что при уменьшении высоты пирамиды угол растет и переходит через значение 90 градусов,

При каких условиях угол в прямоугольном треугольнике вообще может перешагнуть через $90^{\circ}$?...

-- Сб июн 01, 2013 13:47:57 --

Батороев в сообщении #731215 писал(а):

Если бы я был прав в своем первом варианте,

Ну угол же очевидно монотонен по высоте. Просто потому, что соответствующий катет монотонен.