Объем тела через двойной интеграл

[jokesoy]

Помогите разобраться, правильно ли решена задача.

Вычислить объем тела ограниченного указанными поверхностями. Изобразить на чертеже данное тело и область интегрирования.
$x=1-z^2$
$x= y$
$y = -x$

Я так понимаю, это параболический цилиндр, и две пересекающиеся плоскости.
а в проекции на плоскость xoy треугольник ,ограниченный прямыми $x=y$, $x=-y$ и $x=1$.

Подынтегральная функция будет $\sqrt{1-x}$, а пределы интегрирования для у от $-x$ до $x$, а для самого $x$ от нуля до единицы.

Правильно ли я рассуждаю. В итоге получен ответ 8/15

[Legioner93]

jokesoy в сообщении #730192 писал(а):

Я так понимаю, это параболический цилиндр, и две пересекающиеся плоскости.
а в проекции на плоскость xoy треугольник ,ограниченный прямыми $x=y$, $x=-y$ и $x=1$.

Как же $x=1$ когда у вас в условии прямо написано $x=1-z^2$. Площадь этого треугольника найти сможете (функция от $z$)? Потом умножайте на его "толщину" $dz$ и интегрируйте по $z$, будет объём.

А как вы решали дальше, я не понял. Но ответ у меня не $\frac{8}{15}$

[provincialka]

Если непременно нужен двойной интеграл, то примерно так. Только $z$ имеет 2 значения, $\pm\sqrt{1-x}$, под интегралом будет их разность, т.е. $2\sqrt{1-x}$

[jokesoy]

Как же $x=1$ когда у вас в условии прямо написано $x=1-z^2$

x=1 взято из предположения что на плоскость xoy парабола проецируется как прямая

$$ \int_{0}^{1} \sqrt{1-x}dx\int_{-x}^{x} dy$$

8/15 получаю при вычислении этого интеграла

[Legioner93]

jokesoy в сообщении #730380 писал(а):

x=1 взято из предположения что на плоскость xoy парабола проецируется как прямая

jokesoy в сообщении #730192 писал(а):

Я так понимаю, это параболический цилиндр, и две пересекающиеся плоскости.
а в проекции на плоскость xoy треугольник ,ограниченный прямыми $x=y$, $x=-y$ и $x=1$.

А толку от этой вашей проекции на плоскость $z=0$?
Рассмотрите сечения вашей фигуры плоскостями $z=z_0$. Будет тот же самый треугольник, только $x$ не $1$, а $1-z_{0}^2$. А теперь просуммируйте все сечения, умножив их на толщину $dz$, получите объём.

[svv]

jokesoy
Не забудьте про замечание, которое сделала provincialka: в Вашем способе $z$ меняется от $-\sqrt{1-x}$ до $\sqrt{1-x}$ (а не от нуля), поэтому ответ вдвое больше.

[jokesoy]

спасибо большое.буду осмысливать

[Nacuott]

Картинка в помощь.

[jokesoy]

примерно так и представляла) спасибо,развеяли последние сомнения) а в какой программе вы строите поверхности 2 порядка?

[Nacuott]

MathCad.