Помогите разложить в ряд Фурье 1/|r|

[OlegMN]

Извиняюсь, что пока не использую теги для формул. Меня интересует, как разложить в интеграл Фурье 1/|r|, где r - расстояние и зависит от х, у, z. Раскладываем как функцию от 3 переменных? Потом проблемка с нахождением коэфициентов в интеграле Фурье, т.к. для их нахождения надо взять один интеграл... Один вариант я получил, но он не совпадает с тем, что обещал преподаватель.

[Аурелиано Буэндиа]

Ответ должен быть $\hbox{const} \frac{1}{|\vec{k}-\vec{k}'|^2}$

[Sanyok]

Я кстати, тож в непонятках.. А как такой ответ получается?

[LynxGAV]

$\int \frac{1}{|r|} e^{-i \vec k \vec r} d^3 r$ - сначала угловую часть посчитать, потом что-то останется

[LynxGAV]

Теоремы и прочие прибамбасы иногда помогают. Не помню, что это было, но что-то было.

Интеграл от минус до плюс бесконечности от модуля функции, которую будем искать, должен сходиться...

А что там обещал преподаватель?

[OlegMN]

Для коэффициентов - $\hbox{4*pi} \frac{1}{|\vec{k}-\vec{k}'|^2}$.

А вот, как посчитать после перехода ксферической СК тот интеграл (или в декартовой), пока не понятно.

[LynxGAV]

Да, Вы посмотрите наверх.

[OlegMN]

Пока я редактировал, Вы уже написали ответ

P.S. а чем можна эти формулы под виндус набирать? Или вручную?

[LynxGAV]

Надо мне извиниться. Извиняюсь . Я сегодня совсем не пользовалась предварительным просмотром и в два раза чуть не ввела в заблуждение людей. Пишется все вручную. Если на начальном этапе тяжело, то можно пользовалься кнопочкой "цитата" и подглядывать, как похожие формулы набирают другие "товарищи", или просто копировать нужные куски.

Вверху страницы также написано: "Пишешь формулу? Используй тег [math]! Теперь размеры формул можно менять."

[LynxGAV]

OlegMN писал(а):

А вот как посчитать после перехода к сферической СК тот интеграл (или в декартовой), пока не понятно.
Последний раз редактировалось: OlegMN (Пн Янв 16, 2006 23:21:18), всего редактировалось 1 раз.

Вы бы не редактировали, а писали новое сообщение. Можно ведь совсем не заметить.
Какой интеграл, вот этот что ли $\int\limits_{0}^{\infty} \sin krdr$? Эээх..

[Capella]

LynxGAV писал(а):

Теоремы и прочие прибамбасы иногда помогают. Не помню, что это было, но что-то было.

Интеграл от минус до плюс бесконечности от модуля функции, которую будем искать, должен сходиться...

А что там обещал преподаватель?

Анют, по моему это не верно. Например $ $$\int\limits_{-\infty}^{\infty} x^2 dx $$ = $$\int\limits_{-\infty}^{\infty} |x^2| dx $$ = \infty $, как был расходящимся, так им и останется... Для нечётных тоже неверно.
По моему для сходящегося интеграла по модулю надо рассматривать функциональное пространство $ L_1 $ или ты может какие-то особые функции подразумевала?

[LynxGAV]

Ты чего, Танюха. Я имела ввиду преобразование Фурье. Очень даже верно.

[Capella]

Я твой верхний пост не читала
В личке объяснение смотри!

[LynxGAV]

Чтобы быть полностью уверенной, что Ваше замешательство было не в получении интеграла, напишу откуда он берется - $2\pi\int\limits_{0}^{+\infty}\int\limits_{0}^{\pi}\frac{1}{r}e^{-ikr \cos \theta}r^2 \sin \theta d\theta dr$.

[Аурелиано Буэндиа]

OlegMN писал(а):

Извиняюсь, что пока не использую теги для формул. Меня интересует, как разложить в интеграл Фурье 1/|r|, где r - расстояние и зависит от х, у, z. Раскладываем как функцию от 3 переменных? Потом проблемка с нахождением коэфициентов в интеграле Фурье, т.к. для их нахождения надо взять один интеграл... Один вариант я получил, но он не совпадает с тем, что обещал преподаватель.

Посмотрите книгу стр. 112. Дотошний В.С. Владимиров специально разжевал Вам этот случай. Но мне кажется самый простой способ решения такой (решение в 2-е строчки):
$\triangle r^{-1}=-4\pi \delta(\vec{r})$
Делаем преобразование Фурье от левой и правой части
$-k^2 F[r^{-1}]=-4\pi$
Записываем ответ
$F[r^{-1}]=\frac{4\pi}{k^2}$
если хотите можите вместо $k^2$ написать $|\vec{k}-\vec{k}'|^2$
Ладно всем =)