Комбинаторика сумма сочетаний 3

[bekemzi]

Доброго времени суток, есть такой пример:

$\sum_{l=1}^{n}\frac{{C}_{n-1}^{l-1}}{{C}_{2n-1}^{l}}$

интересует следующее - что возможно сделать на данном шаге:

$\frac{(n-1)!}{(2n-1)!}\sum_{l=1}^{n}l\cdot\frac{(2n-l-1)!}{(n-l)!}$

согласен, что не далеко ушёл, но мыслей нет совсем

[sopor]

Известно, что $\sum \limits _{i=1}^{n} i(i+1)...(i+k)=\frac {1} {k+2} n(n+1)...(n+k+1)$
(Вы можете доказать это по индукции)
так вот, вам в вашей сумме нужно раскрыть факториалы
$\sum \limits _{i=1}^{n} i \frac {(2n-i-1)!} {(n-i)!}=\sum \limits _{i=1}^{n} (n-i+1)i(i+1)...(i+n-2)=A$
теперь рассмотрим
$B=\sum \limits _{i=1}^{n} (i)i(i+1)...(i+n-2)$
заметим, что $A+B=(n+1)\sum \limits _{i=1}^{n} i(i+1)...(i+n-2)$, которая сразу считается по первой формуле
теперь выразим B : $B=\sum \limits _{i=1}^{n} i(i+1)...(i+n-2)(i+n-1)-(n-1)\sum \limits _{i=1}^{n} i(i+1)...(i+n-2)$, каждая из этих двух сумм сразу считается по первой формуле
теперь мы можем выразить $A$
теперь умножим $A$ на $\frac {(n-1)!} {(2n-1)!}$ и получим ответ!
(Если что, ответ $\frac {2n}{n+1}$)
(И да, я мог где-то опечататься)

-- 30.05.2013, 23:19 --

Извините, вот и первая оплошность - ответ $\frac {2} {n+1}$

[bekemzi]

Спасибо, можно вас спросить, что можно сделать с этим?))))
Кажется это уже финишная прямая)


${\frac{2}^{(n+1)}}\sum_{l=1}^{n}{l}{\frac{{C}_{2n-l-1}^{n-1}^}{{C}_{2n}^{n-1}}$

[sopor]

Покажем, что $\sum \limits _{i=1}^{n} iC_{2n-i-1}^{n-1}=C_{2n}^{n-1}$
С этой целью рассмотрим многочлен $(1+x)^{n-1}((1+x)^{n-1}+2(1+x)^{n-2}+...+(n-1)(1+x)+n)$. С одной стороны, коэффициент этого многочлена при степени $n-1$ равен сумме слева. А с другой стороны, вы можете преобразовать штуку в скобках, применив несколько раз формулу для геом. прогрессии, и после этого станет понятно)

[bekemzi]

Спасибо, разобрался.