Об интегралах Дарбу

[Cstln]

Если верхний и нижний интегралы Дарбу - это соответственно верхняя и нижняя грани соответствующих сумм, и при этом при каждом продолжающем дроблении верхнии суммы только уменьшаются, а нижние только растут, то почему нельзя сразу сказать, что верхний и нижний интегралы - это просто пределы? А то в учебнике (Кудрявцева) доказывается это совсем по-другому

[ewert]

Cstln в сообщении #730485 писал(а):

то почему нельзя сразу сказать, что верхний и нижний интегралы - это просто пределы?

А потому, что: а что Вы понимаете под пределом? что в точности?

Кстати, интегралов Дарбу не бывает. Бывают суммы.

[mihailm]

ну считайте их пределами, как это вам поможет?

[ewert]

mihailm в сообщении #730496 писал(а):

ну считайте их пределами,

Нет, это нельзя -- то тех пор, пока нет чёткого понимания, что такое предел в том или ином случае. Без этого понимания все дальнейшие понимания бессмысленны.

[Otta]

ewert в сообщении #730492 писал(а):

Кстати, интегралов Дарбу не бывает

:) А это кому как.

[ewert]

Otta в сообщении #730518 писал(а):

:) А это кому как.

Возможно. Однако же сумма -- не есть интеграл. Ни разу.

В стандартной же теории под дарбами понимаются именно суммы точных границ. И ни разу не интегралы.

[Otta]

ewert в сообщении #730526 писал(а):

Возможно. Однако же сумма -- не есть интеграл. Ни разу.

Никто не спорит. Ни разу.

(Оффтоп)

Цитата:

В стандартной же теории под дарбами понимаются именно суммы точных границ. И ни разу не интегралы.

Я бы не сказала, что анализ по Зоричу или Кудрявцеву - это нестандартная теория.
Суммы Дарбу - понятно что.
Верхний (нижний) интеграл Дарбу - инфимум (супремум) верхних (нижних) сумм Д. по всем разбиениям. Попутно доказывается, что они совпадают с пределом (при диаметре разбиения, стремящемся к нулю), соотв. сумм Дарбу. И, наконец, что функция интегрируема в том и только том случае, когда верхний интеграл совпадает с нижним.
Это так, краткий конспект.

[Cstln]

Otta, спасибо.

Но всё же - почему нельзя сказать, что если последовательность например нижних сумм Дарбу имеет пределом нижний интеграл Дарбу (т. к. последовательность монотонно возрастает при нормальном дроблении, а в то же нижним интегралом ограничена сверху)?

[Otta]

Cstln в сообщении #730550 писал(а):

Но всё же - почему нельзя сказать, что если последовательность например нижних сумм Дарбу имеет пределом нижний интеграл Дарбу (т. к. последовательность монотонно возрастает при нормальном дроблении, а в то же нижним интегралом ограничена сверху)?

Долго переваривала, наверное, слово "если" тут лишнее. Я его уберу, ок?
Я понимаю, о каком монотонном возрастании Вы говорите. Но обеспечить стопроцентно такую монотонность можно только при специфическом дроблении, например, каждый отрезок разбиения пополам или вроде того. При этом, конечно, диаметр разбиения будет стремиться к нулю. Но. Дело в том, что стремиться к нулю он может и иным, так сказать, способом. И вот тут монотонности никто не обещал.

[Утундрий]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #730526 писал(а):

сумма -- не есть интеграл. Ни разу.

А вот возьмём и проинтегрируем кусочно-постоянную функцию...

[bot]

Cstln в сообщении #730550 писал(а):

Но всё же - почему нельзя сказать, что если последовательность например нижних сумм Дарбу

Хотя бы потому, что нижние суммы Дарбу не образуют последовательности. О пределе (множества этих сумм) здесь можно начинать говорить только, если будет дано его определение. В принципе это сделать можно похожим образом, как интеграл через суммы Римана, но это не будет проще. Вся прелесть сумм Дарбу в том и состоит, что возможно коротко и ясно определить два интеграла Дарбу (и заодно получить критерий интегрируемости) минуя громоздкое определение через предел.