Задача про бусинку

[Omega]

Помогите пожалуйста со следующим:
Бусинка надета на невесомую гладкую нить длиной $L$, концы которой закреплены на
одинаковой высоте на расстоянии $d$ друг от друга. Найти частоту малых колебаний бусинки вдоль нити.

Положим, что $\alpha$ и $\varphi$ - углы, которые составляют разбитые бусинкой части нити ( с длинами $l_{1}$ и $l_{2}$ соответственно) с горизонталью, проходящую через точки подвесов.
Тогда из геометрических соображений легко получить следующие соотношения:

$$l_{1}+l_{2}=L;\,l_{1} \cos{\alpha}+l_{2}\cos{\varphi}=d;\,\dfrac{l_{1}}{\sin{\varphi}}=\dfrac{l_{2}}{\sin{\alpha}}$$

Из последних уравнений получаем в итоге:

$$l_{2}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{L^{2}-d^{2}}{L-d\cos{\varphi}}$$

Очевидно, что $U=mgl_{2}\sin{\varphi}$, тогда в приближении малых колебаний получаем, что

$$\Delta U(\varphi) \approx \dfrac{mgL^{2}}{4\sqrt{L^{2}-d^{2}}} \varphi^{2}$$

А каким же образом мне выразить кинетическую энергию бусинки?
Всем заранее спасибо.

[DimaM]

Приближение для энергии неверное: при малых колебаниях угол $\varphi$ вовсе не обязательно мал.
Лучше выражать все через смещение по горизонтали от положения равновесия. Тогда кинетическую энергию записать легко (вертикальной скоростью можно пренебречь), а смещение по вертикали получается из того, что траектория движения бусинки - эллипс.

[Omega]

DimaM, а как же тогда верно? Так:

$$\Delta U(\varphi) \approx \dfrac{mgL^{2}}{4\sqrt{L^{2}-d^{2}}} (\varphi-\varphi_{0})^{2}$$

И почему же угол смещения не обязательно мал?

[DimaM]

Omega в сообщении #730345 писал(а):

а как же тогда верно? Так:

$$\Delta U(\varphi) \approx \dfrac{mgL^{2}}{4\sqrt{L^{2}-d^{2}}} (\varphi-\varphi_{0})^{2}$$

Тоже вряд ли.
Вообще $\varphi$ - плохая переменная для этой задачи. Например, скорость через нее выражать трудно. Хорошая переменная - горизонтальное смещение от середины, как я выше уже писал.

[Omega]

DimaM,я всё-таки соглашусь с Вами: ввиду того, что я зашёл в тупик, идя по пути, который описывал выше - забуду про $\varphi$.
Итак, что тогда далее? Обозначим горизонтальное смещение бусинки за $x\,$, тогда зависимость расстояния бусинки до горизонтали, проходящей через точки подвесов, в зависимости от $x$:

$$y(x)=\dfrac{\sqrt{(L^{2}-d^{2})(L^{2}-4x^{2})}}{2L}$$

[DimaM]

Omega в сообщении #730363 писал(а):

Обозначим горизонтальное смещение бусинки за $x\,$, тогда зависимость расстояния бусинки до горизонтали, проходящей через точки подвесов, в зависимости от $x$:

$$y(x)=\dfrac{\sqrt{(L^{2}-d^{2})(L^{2}-4x^{2})}}{2L}$$

Теперь надо записать смещение по вертикали от положения равновесия и разложить для малых $x$.
Полезная формула: $(1+y)^n\approx 1+ny, y\ll 1$.

[Omega]

Выходит:

$$\dfrac{d(\Delta U(x))}{dt} \approx \dfrac{2mg\sqrt{L^{2}-d^{2}}}{L^{2}}x \dot{x}$$

Также:

$$\dfrac{d(E_{\text{кин}})}{dt}=m\ddot{x}\dot{x}$$

Получается в итоге, что:

$$T=\dfrac{2\pi L}{\sqrt{2g}}\dfrac{1}{\sqrt[4]{L^{2}-d^{2}}}$$

Хорошо, но остался вопрос: почему можно пренебречь вертикальной составляющей скорости? Потому что она первого порядка малости:$v_{y}\sim k x$ ?

[DimaM]

Omega в сообщении #730372 писал(а):

Хорошо, но остался вопрос: почему можно пренебречь вертикальной составляющей скорости? Потому что она первого порядка малости:$v_{y}\sim k x$ ?

Не уверен, что выражение "первого порядка" тут правильно, а по сути верно.
Точнее, $v_y\sim v_x\cdot x/L\ll v_x$, поскольку полагаем $x\ll L$.

[Omega]

DimaM, спасибо. А что Вы думаете по поводу правильности ответа?

[DimaM]

Omega в сообщении #730387 писал(а):

А что Вы думаете по поводу правильности ответа?

У меня такой же получается.

[nikvic]

Omega в сообщении #730372 писал(а):

Хорошо, но остался вопрос: почему можно пренебречь вертикальной составляющей скорости?

Дело обстоит так же, как при движении по окружности. Т.е. те же доводы - есть точка минимума и вторая производная.

[svv]

Способ, который не претендует на строгое решение, но для быстрой проверки сойдёт.
Определим параметры эллипса. Большая полуось равна $a=L/2$, малая $b=\frac 1 2 \sqrt{L^2-d^2}$.
Кривизна эллипса в нижней точке равна $y''(0)=b/a^2$, соответственно радиус кривизны $R=a^2/b$.
Возьмем маятник с такой длиной $R$, траектория движения его грузика (окружность) будет иметь такой же радиус кривизны. Тогда и периоды малых колебаний бусинки и маятника будут равны. Значит,

$$T=2\pi\sqrt{\frac R g}=\sqrt{\frac 2 g}\frac{\pi L}{\sqrt[4]{L^2-d^2}}$$

[Omega]

Спасибо, svv .

svv в сообщении #730412 писал(а):

...Значит,

$$T=2\pi\sqrt{\frac R g}=2\pi a\sqrt{\frac g b}=\frac{\pi L\sqrt{2g}}{\sqrt[4]{L^2-d^2}}$$

Корень из $g$ должен быть в знаменателе.

[ewert]

svv в сообщении #730412 писал(а):

Способ, который не претендует на строгое решение,

Способ для физической задачи абсолютно строг, и ровно так и надо, только с одной оговоркой (не считая местоположения $g$). Не надо связываться ни с какими радиусами, а надо тупо выписать каноническое уравнение эллипса: $y=-b\sqrt{1-\dfrac{x^2}{a^2}}\sim-b+\dfrac{bx^2}{2a^2}$. Откуда полная энергия (с точностью до константы) в первом приближении есть $\dfrac{mgb}{a^2}\cdot\dfrac{x^2}2+\dfrac{m\dot x^2}2$ и, соответственно, $\omega^2=\dfrac{gb}{a^2}$.

[svv]

Omega, OK. Исправил.
ewert, OK.