Помогите проварьировать!!

[nastyurina]

Варьировать разучилась, каюсь
Намекните хотя бы как за это браться

$$(\partial_i A_i-\partial_j A_j)^2+\alpha \epsilon _{ijk} A_i \partial_j A_k$$

- действие

Должно получиться это (как??)

$$\sum_i \partial_i (\partial_i A_j - \partial_j A_i)+\sum_{k,l}\alpha \epsilon_{jkl}\partial_k A_l) $$

Оно же

$$\partial _j F_{ji}=\alpha \epsilon_{ijk} F_{jk}$$

И между прочим дожно вывестись уравнение клейна-гордона (откуда, не очень понятно)

$$(\partial _i^2 +\alpha^2)F_{lk}=0$$

[Alex-Yu]

nastyurina в сообщении #730180 писал(а):

Намекните хотя бы как за это браться

$$(\partial_i A_i-\partial_j A_j)^2+\alpha \epsilon _{ijk} A_i \partial_j A_k$$

- действие

Здесь не хватает интеграла.

-- Чт май 30, 2013 12:41:07 --

nastyurina в сообщении #730180 писал(а):

Должно получиться это (как??)

Все очень просто. Сначала даете малую добавку (вариацию) $\delta A_i$ к $A_i$. Т.е. вместо $A_i$ подставляете $A_i + \delta A_i$ и выкидываете все члены высшего порядка (типа $\delta A_i \delta A_j$ и т.п.). При этом возникнут производные от $\delta A_i$, от них надо избавится, что делаетеся интегрированием по частям.

-- Чт май 30, 2013 12:44:33 --

nastyurina в сообщении #730180 писал(а):

И между прочим дожно вывестись уравнение клейна-гордона (откуда, не очень понятно)

Вариация действия в итоге приобретет вид:

$$ \int (\dots)\delta A_i d^4x $$

Чтобы это было равно нулю ПРИ ЛЮБЫХ $\delta A_i$ нужно, чтобы занулилось то, что в скобках.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #730263 писал(а):

Здесь не хватает интеграла.

Ну наверное, он сверху висит.

nastyurina
Почитайте, например, Ландау, Лифшиц "Теория поля" § 30. Там показано, как варьируется действие, и получаются уравнения поля, на примере уравнений Максвелла.

В общем, используется правило Лейбница $\delta(AB)=(\delta A)B+A\,\,\delta B.$ Потом от членов $\delta\,\partial A=\partial\,\delta A$ избавляются интегрированием по частям.

Уравнение Клейна-Гордона получится, если взять вторую производную, и подставить в первую то же самое уравнение. Или, если хотите иначе, то пишете первое уравнение в виде $\operatorname{operator}F=0,$ а потом возводите оператор в квадрат, $\operatorname{operator}^2F=0.$