Оператор умножения на функцию.

[3.14]

Здравствуйте, участники форума. Пусть у нас есть $\mu$ - мера Лебега на отрезке $[0, 1]$, $\phi$ - ограниченная $\mu$-измеримая функция такая, что $\phi(t)$ почти всюду не нуль на $[0, 1]$. Мне нужно показать, что оператор $A_{\phi} x(t) = \phi(t) x(t)$ (оператор умножения на функцию $\phi$ в $L^2[0, 1]$) не является компактным оператором. Я пробовал решать через спектр. Мы знаем ка устроен спектр компактного оператор $K$ : $\sigma(K) = \left\{ 0 \right\} \cup \left\{ k_n \right\}$, где $k_n$ - собственные числа (не более чем счетное число). Потом известен спектр оператора умножения на функцию. Возясь со спектрами, я так к чему-либо хорошему не пришел. Может у кого есть какие-нибудь идеи ?

[ewert]

Можно действовать в лоб -- построить последовательность функций с фиксированной нормой, из образов которых нельзя выбрать сходящуюся подпоследовательность. Для этого достаточно взять последовательность нормированных характеристических функций прообразов интервалов $(m_k;+\infty)$, где $m_k\to\mathrm{v}.\sup|\varphi|-0$.

Или, если использовать продвинутые средства, то для самосопряжённого компактного оператора (а задача легко сводится к самосопряжённой) характер спектра известен; вот и попытайтесь найти хоть одну собственную функцию.

[3.14]

ewert, спасибо за Ваше замечание. Но я не понял одну вещь. Пусть $A$ - самосопряженный компактный, тогда спектр лежит на вещественной оси и имеет такой вид : $\sigma(A) = \left\{ 0 \right\} \cup \left\{ k_n \right\}$. Если я правильно понял, то Вы хотите сказать, что если наш оператор компактный и самосопряженный, то по теореме Гильберта-Шмидта у него должен быть собственный ортонормированный базис. Поэтому мне нужно найти хотя бы один собственный вектор. И у меня не получится найти его. Вот я не совсем понимаю почему не получится. Вот например, для оператора $Ax(t) = t x(t)$ в $L^2[0,1]$ понятно почему нет собственный векторов (спектр будет отрезок $[0,1]$ и у него нет собственных чисел).

[ewert]

3.14 в сообщении #730213 писал(а):

Поэтому мне нужно найти хотя бы один собственный вектор. И у меня не получится найти его. Вот я не совсем понимаю почему не получится.

Не то что бы совсем не получится. Но если вдруг получится -- то шибко уж много.

3.14 в сообщении #730213 писал(а):

Вот например, для оператора $Ax(t) = t x(t)$ в $L^2[0,1]$ понятно почему нет собственный векторов

А почему, собственно, нет?... -- вот так же и птички.