Lyoha писал(а):
Ну во-первых, физика оперирует не только "измеримыми величинами".
Например?
Насколько я знаю, физика не занимается принципиально ненаблюдаемыми сущностями. А наблюдаемость и измеримость - это практически синонимы.
Приведу пример столкновения физики с неконструктивными понятиями. СТО, как известно, основана на двух известных постулатах. Зададимся вопросом, как вывести из них формулу преобразований Лоренца? Схема такова: с помощью первого постулата делаем вывод о том, что преобразования между ИСО - линейные, затем помощью второго собственно получаем общую формулу для матрицы преобразования. Трудность возникает уже на первом шаге. Казалось бы, из утверждения о том, что первый закон Ньютона (прямолиненйное равномерное движение) должен сохранять своё действие в любой ИСО, непосредственно следует, что преобразование между ИСО сохраняет прямые линии. Но вот является ли преобразование, сохраняющее прямые линии, линейным? Аддитивность такого преобразования, т.е. то, что
, достаточно легко доказывается. Но это ведь ещё не означает линейность... Я задаюсь вопросом, а существуют ли вообще нелинейные аддитивные функции на
и выясняю, что в функциональном анализе, оказывается, доказывается, что такие функции "существуют", правда доказательство - неконструктивно. Что это значит? А это значит, что
пример такой функции мне привести никто не может. Замечательно, но что делать физику? Закладывать в СТО
третий постулат - непрерывности преобразования перехода между ИСО, и всё только из-за возможности существования неких мифических преобразований, примера которых привести невозможно? (Правда оказалось, что для более чем одномерного пространства доказательство линейности преобразования, сохраняющего прямые линии, возможно и без требования непрерывности, но оно достаточно нетривиально).
К чему я это? А к тому, что для физиков неконструктивные понятия - это только лишний геморрой, и абсолютно никакой пользы. В конструктивном анализе есть всё, что нужно физикам: и аналог действительных чисел, и дифференциальная геометрия, и непрерывные группы и т.п. Нет там только одного - доказательств существования объектов, для которых нельзя привести конкретного примера (поскольку не существует
способов для этого).
Lyoha писал(а):
А во-вторых, верна ли моя догадка, что конструктивный анализ кроме гипотезы континума отвергает ещё по крайней мере и аксиому выбора? Если да, то он отвергает все аксиомы, выходящие за рамки целочисленного счёта, или только некоторые избранные? В любом случае, ИМХО, его возможности ограничены бухгалтерской математикой.
И аксиому выбора, и аксиому бесконечности. И, как уже заметил
Someone, - закон исключённого третьего (вместе с правилом снятия двойного отрицания), т.е. не признаёт доказательств от противного.
Вместе с тем трактовка, что он якобы ограничен сферой "целочисленного счёта", абсолютно неверна. В некотором смысле конструктивизм - это математика конечных операций. На первый взгляд может показаться, что этим отвергается достаточно "богатый" кусок математики, оперирующей с бесконечностями. Но если разобраться, то оказывается, что в жизни-то эти бесконечности никогда и не используются. Например, если взять любое действительное число, скажем
, то мы в принципе всегда работаем только с
конечной точностью его представления. Ну и, конечно же, теоретически должна быть предусмотрена возможность работать с представлением
любой точности. Конструктивизм предоставляет эту возможность. Единственное, что он отрицает, это что возможно представление "бесконечной" точности.