сходимость интеграла

[kirillag]

$\int\limits_0^1 {\frac{{\sqrt {1 - \cos x} }}{x}} dx$

[Ms-dos4]

kirillag
Сходится, т.к. в нуле устранимый разрыв

[kirillag]

Ms-dos4 в сообщении #729824 писал(а):

kirillag
Сходится, т.к. в нуле устранимый разрыв

а возможно доказать предельным признаком сравнения?

[Ms-dos4]

kirillag
Просто найдите у этой функции предел в нуле и всё.

[kirillag]

Ms-dos4 в сообщении #729828 писал(а):

kirillag
Просто найдите у этой функции предел в нуле и всё.

хм, просто мне дали этот пример, чтобы я научился пользоваться предельным признаком сравнения

[Ms-dos4]

Им то теоретически можно воспользоваться, вот только когда вы будете искать эквивалентную в окрестности нуля функцию, вы увидите, что предел там конечен, и применять признак нет необходимости, т.к. сразу ясно, что интеграл сходится.

[kirillag]

Ms-dos4 в сообщении #729828 писал(а):

kirillag
Просто найдите у этой функции предел в нуле и всё.

как я понимаю, интеграл сходится, если его предел на бесконечности или в нуле равен нулю.
мне нужно посчитать интеграл и посмотреть предел в нуле полученного выражения?

[Otta]

kirillag в сообщении #729906 писал(а):

как я понимаю, интеграл сходится, если его предел на бесконечности или в нуле равен нулю.
мне нужно посчитать интеграл и посмотреть предел в нуле полученного выражения?

Вам нужно почитать учебник. Вы как-то исхитряетесь абсолютно неверно все понимать.

Безотносительно к этому, признаки сходимости как раз и существуют для того, чтобы выяснять, сходится или расходится интеграл, без попыток его вычисления, которое чаще всего не ведет к успеху: интегралы не берутся.

-- 29.05.2013, 13:08 --

Ms-dos4 в сообщении #729838 писал(а):

Им то теоретически можно воспользоваться, вот только когда вы будете искать эквивалентную в окрестности нуля функцию, вы увидите, что предел там конечен, и применять признак нет необходимости, т.к. сразу ясно, что интеграл сходится.

Тут мне хочется добавить, что в таком случае даже не говорят, что интеграл сходится, говорят, что он собственный.

[TOTAL]

kirillag в сообщении #729830 писал(а):

хм, просто мне дали этот пример, чтобы я научился пользоваться предельным признаком сравнения

Что с чем сравнивать сказали?

[kirillag]

TOTAL в сообщении #729911 писал(а):

kirillag в сообщении #729830 писал(а):

хм, просто мне дали этот пример, чтобы я научился пользоваться предельным признаком сравнения

Что с чем сравнивать сказали?

нет, но я знаю какой должен быть примерный ход рассуждения:

$ 1 - \cos x = \frac{{{x^2}}}{2} - O({x^4}) \hfill \\$

$ \sqrt {1 - \cos x} = \sqrt {\frac{{{x^2}}}{2} - O({x^4})} \hfill \\$

$ f(x) = \frac{{\sqrt {\frac{{{x^2}}}{2} - O({x^4})} }}{x}dx \hfill \\$

[ИСН]

Если выразить $1-\cos x$ через синус половинного аргумента, то можно выкрутиться и оттянуть момент знакомства со смыслом буковок "O" и "o".

[TOTAL]

kirillag в сообщении #729914 писал(а):

TOTAL в сообщении #729911 писал(а):

kirillag в сообщении #729830 писал(а):

хм, просто мне дали этот пример, чтобы я научился пользоваться предельным признаком сравнения

Что с чем сравнивать сказали?

нет, но я знаю какой должен быть примерный ход рассуждения:

Чтобы научиться пользоваться предельным признаком сравнения, надо знать, что такое "предельный признак сравнения". Так узнайте сначала.

[kirillag]

TOTAL в сообщении #729921 писал(а):

Чтобы научиться пользоваться предельным признаком сравнения, надо знать, что такое "предельный признак сравнения". Так узнайте сначала.

знаю признак, не знаю с какой функцией нужно сравнивать...

я привел функцию к такому виду:

$f(x) = \frac{{\sqrt {\frac{{{x^2}}}{2} - O({x^4})} }}{x}dx \hfill \\$

далее нужно рассмотреть такой предел:

$ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} \hfill \\$

я беру в качестве g(x) допустим гармонический ряд:

$ g(x) = \frac{1}{x} \hfill \\$

тогда предел равен нулю

$ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = 0 \hfill \\ $

но гармонический ряд всегда расходится, предельный признак сравнения не выполняется. видимо, нужно подобрать другую функцию g(x)

[ewert]

kirillag в сообщении #729957 писал(а):

не знаю с какой функцией нужно сравнивать

Со степенной.

[kirillag]

Ms-dos4 в сообщении #729828 писал(а):

kirillag
Просто найдите у этой функции предел в нуле и всё.

но для этого придется вычислять интеграл?