задачи по курсу " прикладная алгебра" (теория чисел)

[kekocaumay]

Помогите решить несколько задач:
1) Доказать, что $(n+1)(n+2)\cdots(n+n)$ делится на $2^n$
2) Пусть $K$ - натуральное. Доказать, что в натуральном ряду имеется бесконечно много отрезков $M, M+1,\ldots, M+K+1$, не содержащих простых чисел.
3) Общий метод для решения уравнения в целых числах
$ax + by + cz +.....+ du = k$.
Спасибо большое!

[Батороев]

kekocaumay писал(а):

Помогите решить несколько задач:
1) Доказать, что (n+1)(n+2)...(n+n) делиться на 2^n

Посмотрел в Инете и не нашел в явном виде доказанное свойство:
$ \frac{(2n)!}{n!} = 2^nk $, где k - нечетное число.
По-видимому, придется доказывать через двойной факториал

[Антипка]

Батороев писал(а):

kekocaumay писал(а):

Помогите решить несколько задач:
1) Доказать, что (n+1)(n+2)...(n+n) делиться на 2^n

Посмотрел в Инете и не нашел в явном виде доказанное свойство:
$ \frac{(2n)!}{n!} = 2^nk $, где k - нечетное число.

Это элементарно. Запишите выражение для степени двойки в каноническом разложении чисел n! и (2n)! на простые множители, вычтите первое из второго и получите в точности n. Пресловутое выражение записывается как сумма целых частей частных от деления числа на 2, 4, 8, и т.д., в реальности сумма конечна, т.к. начиная с некоторой степени двойки частное от деления числа на нее будет меньше 1, соответственно, его целая часть - равна 0.

[neo66]

kekocaumay писал(а):

2) Пусть K - натуральное. Доказать, что в натуральном ряду имеется бесконечно много отрезков M, M+1, ......, M+K+1, не содержащих простых чисел.

Это известная задача. $n!+2,n!+3, \dots n!+n$ - составные.