Привести пример множества аналитических функций

[ilya93]

Здравствуйте.
Решаю задачу по Функциональному анализу.

$X={f:[0;1]\to\mathbb{R}, f- \text{ аналитическая на }[0;1]}$
Ввести метрику на $X$, чтобы пространство было полным. Привести пример более чем счетного, компактного множества.
-------------------------------------------
Я ввожу метрику Чебышева, так чтобы пространство непрерывных функция было полное
В качестве примера использую множество функций $kx$ , - аналитическая и имеет мощность континуум(более чем счетно). Но подходит ли оно для компактного? Или может стоит использовать другое множество функций (подскажите какое) чтобы выполнялось это условие? Функции как я понимаю не должны быть сложные.

[ИСН]

Это Вы какое пространство сделали полным? Непрерывных функций? Так, хорошо, а в задаче говорилось о каком?

[ilya93]

в задаче говорится об аналитических функциях. я подобрал такую аналитическую, которая будет непрерывной.
тут скорей стоит вопрос, будет ли множество функций $kx$ - компактным(требование задачи) или не подходит, нужна другая аналитическая функция, если другая, то какая

[ИСН]

Ещё раз: как я понял, в задаче просили (для начала) сделать полным какое-то конкретное пространство. Какое? Сделали ли Вы его полным?

[Oleg Zubelevich]

а что такое аналитическая функция на отрезке? можно ,конено определить, но выглядит нестандартно.

[ilya93]

Аналитическая функция - функция раскладываемая в ряд Тейлора,(многочлен)
я задаю множество функций $kx$ - (это непрерывные аналитические функции) используя метрику Чебышего делаю его полным (используя то что множество непрерывных функций на отрезке, с данной метрикой -дают полное метрическое пространство).

данное множество является более чем счетным
а является ли оно компактным?

p.s.
как мне обьяснили, нужно подобрать такой пример множества аналитич. функций, чтобы все условия поставленной задачи выполнялись.

[ИСН]

Цитата:

Пароход уперся в берег,
Капитан кричит "Вперед!"
Как ............

Я не знаю слов. Пусть скажет кто-нибудь, кто знает.

[ilya93]

Метрика Чебышева не подходит нужна другая, но вот какая?
исходить нужно из того что функция бесконечно дифференцируема.
Но идей по поводу метрики нет....

[ИСН]

Как Вы поняли, что метрика Чебышева не подходит?

(Оффтоп)

Иногда кажется, что вместо меня неплохо справилась бы "Элиза" Вейценбаума.

[ilya93]

Проконсультировался с преподавателем, где была найдена функция которая не являлось аналитической но также была непрерывна определена на отрезке.

грубо говоря я пытался рассмотреть множество аналитических функций как множество непрерывных функций на отрезке (пространство непрерывных функций на отрезке является полным с данной метрикой), но не учел того что есть и не аналитические функции, подходящие под условие.

[provincialka]

Аналитическая функция представляется рядом Тейлора. Вспомните. когда ряд можно дифференцировать почленно?

[ilya93]

Степенной ряд можно дифференцировать почленно внутри его промежутка сходимости любое число раз

[Otta]

ilya93
Вообще, вещественно-аналитическая функция достаточно тонкая материя.
Я даже затрудняюсь для класса бесконечно дифференцируемых хорошую метрику придумать... по аналогии с классами конечной гладкости, думается, что это должно быть что-то вроде предельного случая для нормы в классе конечной гладкости, например, $\rho(x,y)=\sum_{k=0}^{\infty} \max_{t\in [0,1]}|x^{(k)}(t)-y^{(k)}(t)|$.

Однако, класс бесконечно дифференцируемых шире, чем класс аналитических. Поэтому, даже если эта метрика обеспечит полноту в классе $C^\infty$, не факт, что последовательность аналитических будет сходиться к аналитической, а не только бесконечно гладкой. Попробуйте, проверьте эту норму.

А вот интересно, в какой ряд Вы раскладываете Ваши аналитические функции? Из Ваших слов неявно следует, что ряд в итоге один на всем отрезке. Но это не определение. В определении ряд в каждой точке свой. По каким степеням ряд Тейлора?