Случайные величины

[lampard]

$f_X(t)=\left\{\!\begin{aligned} 0,5\;\;\;\;\;if\;\;x\in[2;4] \\ 0 \;\;\;\;\;if\;\;x \notin [2;4] \end{aligned}\right.$

1) $K(X,Z)=?$ Если $Z=3X-1$

Попытка:

$K(X,Z)=M(XZ)-M(X)M(Z)=M(3X^2-X)-M(X)(3M(X)-1)=3M(X^2)-M(X)-3M(X^2)+M(X)=0$

Верно?

2) $F_Y(t)=?$, если $Y=X^2$

Попытка

$F_Y(t)=P(Y<y)=P(-\sqrt{y}<X<\sqty{y})=F_X(\sqrt{y})-F(-\sqrt{y})=\left\{\!\begin{aligned} 0\;\;\;\;\;if\;\;y <4\\ \frac{2}{\sqrt{y}}\;\;\;\;\;if\;\;y\in(4;16] \\ 1 \;\;\;\;\;if\;\;x >16 \end{aligned}\right.$

Мне кажется, что что-то неверно...

[svv]

1) Нет, неверно.
Попробуйте найти ошибку так. Допустим, надо было бы вычислить $K(X, X)$. Действуя аналогично, мы и здесь получим $0$:

$$K(X,X)=M(XX)-M(X)M(X)=M(X^2)-M(X)M(X)=M(X^2)-M(X^2)=0$$

Но ведь $K(X, X)=D(X)$, т.е. получилась нулевая дисперсия, что явно неправильно. Где у меня ошибка?

[lampard]

svv в сообщении #729570 писал(а):

1) Нет, неверно.
Попробуйте найти ошибку так. Допустим, надо было бы вычислить $K(X, X)$. Действуя аналогично, мы и здесь получим $0$:

$$K(X,X)=M(XX)-M(X)M(X)=M(X^2)-M(X)M(X)=M(X^2)-M(X^2)=0$$

Но ведь $K(X, X)=D(X)$, т.е. получилась нулевая дисперсия, что явно неправильно. Где у меня ошибка?

Спасибо. $M(X^2)\ne M^2(X)$

$K(X,Z)=M(XZ)-M(X)M(Z)=M(3X^2-X)-M(X)(3M(X)-1)=$

$=3M(X^2)-M(X)-3M^2(X)+M(X)=3D(X)$

Исправляюсь. Теперь верно? А как со вторым пунктом про функцию распределения?

[svv]

Это-то верно, но только дисперсию нужно вычислить!

[lampard]

svv в сообщении #729588 писал(а):

Это-то верно, но только дисперсию нужно вычислить!

Ну это уже понятно, равномерное ведь распределение у $X$

$\operatorname{D}(X) = \dfrac{(b-a)^2}{12}=\dfrac{1}{3}$

$K(X,Z)=1$

[svv]

Да, первое задание теперь правильно.

Во втором тоже ошибки. Вы свели дело к $F_X$, а это функция равномерного распределения, найдите её где-нибудь и подставьте аргументы, $\sqrt{y}$ в знаменатель попасть не должен.

Кроме того, очень много описок. В одном месте потеряли корень, в другом вместо $F_X$ написали $F$, в третьем вместо $y>16$ написали $x>16$.

[lampard]

svv в сообщении #729605 писал(а):

Да, первое задание теперь правильно.

Во втором тоже ошибки. Вы свели дело к $F_X$, а это функция равномерного распределения, найдите её где-нибудь и подставьте аргументы, $\sqrt{y}$ в знаменатель попасть не должен.

Кроме того, очень много описок. В одном месте потеряли корень, в другом вместо $F_X$ написали $F$, в третьем вместо $y>16$ написали $x>16$.

Спасибо.

$F_X(t)=\left\{\!\begin{aligned} 0\;\;\;\;\;if\;\;x \le 2\\ 0,5x\;\;\;\;\;if\;\;x\in(2;4] \\ 1 \;\;\;\;\;if\;\;x >4 \end{aligned}\right.$

(Оффтоп)

$$F_Y(t)=P(Y<y)=P(-\sqrt{y}<X<\sqty{y})=F_X(\sqrt{y})-F_X(-\sqrt{y})=\left\{\!\begin{aligned} 0\;\;\;\;\;if\;\;y <0\\ \sqrt{y}\;\;\;\;\;if\;\;y\in(0;1] \\ 1 \;\;\;\;\;if\;\;y>1 \end{aligned}\right.$$

-- 28.05.2013, 19:14 --

$F_X(\sqrt{y})-F_X(-\sqrt{y})=\left\{\!\begin{aligned} 0\;\;\;\;\;if\;\;y <0\\ 0,5\sqrt{y}\;\;\;\;\;if\;\;y\in(4;16] \\ 1 \;\;\;\;\;if\;\;y>16 \end{aligned}\right.$

$F_X(-\sqrt{y})<0???$ как так?

[svv]

Эээ... Вы, наверное, взяли функцию равномерного распределения для отрезка $[0, 1]$, а надо было $[2, 4]$.

Общая формула для равномерного распределения на отрезке $[a, b]$ такая. $F_X(x)=$
$0, \;\; x\leqslant a$

$\dfrac{x-a}{b-a},\;\; a \leqslant x\leqslant b$

$1, \;\; x\geqslant b$

[lampard]

svv в сообщении #729624 писал(а):

Эээ... Вы, наверное, взяли функцию равномерного распределения для отрезка $[0, 1]$, а надо было $[2, 4]$.

Общая формула для равномерного распределения на отрезке $[a, b]$ такая. $F_X(x)=$
$0, \;\; x\leqslant a$

$\dfrac{x-a}{b-a},\;\; a \leqslant x\leqslant b$

$1, \;\; x\geqslant b$

Спасибо.

$F_X(\sqrt{y})=\left\{\!\begin{aligned} 0\;\;\;\;\;if\;\;y <0\\ 0,5(\sqrt{y}-2)\;\;\;\;\;if\;\;y\in(4;16] \\ 1 \;\;\;\;\;if\;\;y>16 \end{aligned}\right.$

$F_X(-\sqrt{y})=?$ Там же получается, что $0,5(-\sqrt{y}-2)<0$...

[--mS--]

Начните-ка с начала:

lampard в сообщении #729552 писал(а):

$P(Y<y)=P(-\sqrt{y}<X<\sqty{y})$

Мне кажется, что что-то неверно...

Подставьте $y=-5$ и сравните левую и правую вероятности.

[lampard]

$P(Y<y)=P(-\sqrt{y}<X<\sqrt{y})$

Если $y<0$, то $P(Y<y)=0$

[--mS--]

Теперь проблема решилась? Или всё ещё не знаете, как вычислять $F_X(-\sqrt{y})$?

[lampard]

--mS-- в сообщении #729696 писал(а):

Теперь проблема решилась? Или всё ещё не знаете, как вычислять $F_X(-\sqrt{y})$?

$F_X(-\sqrt{y})=0?$

[--mS--]

Совершенно верно.