Интересное поведение суммы цифр

[Ktina]

Натуральное число увеличили ровно в $k$ раз, а сумма цифр полученного числа (в десятичной записи) оказалась ровно в $k$ раз меньше суммы цифр исходного.

При каких натуральных $k$ такое возможно?

[hippie]

При $k$, кратных какому-либо простому числу, отличному от 2 и 5.
А также при
$k=1$ ;
$k=2:\quad 6\cdot 2 = 12;$
$k=4:\quad 255\cdot 4 = 1020;$
$k=8:\quad 125\cdot 8 = 1000.$

[Ktina]

hippie,
А почему при $k=16$ такое невозможно?

[hippie]

$\frac 1{16}=.0625; \quad 0+6+2+5=13<16.$

Дальнейшее понятно? Или нужно пояснить?

[Ktina]

hippie в сообщении #729493 писал(а):

$\frac 1{16}=.0625; \quad 0+6+2+5=13<16.$

Дальнейшее понятно? Или нужно пояснить?

Понятно. Спасибо!