Найти такое х при котором выражение будет минимальным

[Rostislav1]

Наверное, я не по адресу, но все же - решал я одну задачу по программированию и столкнулся с тем, что нужно найти такое х при котором выражение $\[{\left( {2\cdot\left| {x - {a_1}} \right| + 2\cdot\left| {x - {a_2}} \right| + ... + 2\cdot\left| {x - {a_n}} \right|} \right)^2}\]$ будет минимальным. Я брал производную, приравнивал к нулю, раскрывал модуль(два случая) и в обоих случаях получал просто среднее арифметическое $\[{a_i}\]$-тых. Но так не должно быть.

[ИСН]

У квадрата выражения, если оно строго неотрицательно (а это так), минимум находится там же, где у самого выражения. Ваша маленькая 2 сверху - дым и зеркала.
У удвоенного выражения минимум там же, где у самого выражения. Ваша большая 2 спереди - знаете что?

-- Пн, 2013-05-27, 18:04 --

Ещё хотелось бы узнать, о каких двух случаях идёт речь, каким образом получалось среднее арифметическое, и откуда Вы знаете, что так не должно быть. А как, кстати, должно?

[VoloCh]

Rostislav1 в сообщении #729052 писал(а):

Я брал производную,

А попробуйте считать $n=2$, $a_1=0$, $a_2=1$ и покажите, где производная, где 2 случая и где среднее...

[Rostislav1]

Приравнивая производную к нулю получаем выражение $\[\left| {x - {a_1}} \right| + \left| {x - {a_2}} \right| + ... + \left| {x - {a_n}} \right| = 0\]$
А с двумя случаями я погорячился. Я имел ввиду те два случая, когда выражение под модулем отрицательно и когда положительно, но у нас то $n$ слагаемых... Получается, что будет $n!$ случаев?

[Deggial]

1. Вы неправильно взяли производную.
2. Производная не нужна: уберите квадрат и нарисуйте более-менее общий график.
И формулки все $\TeX$ом оформляйте.

[_hum_]

Rostislav1

\begin{align*} |x|' = \begin{cases}&-1, \text{ если } x < 0,\\ &\phantom{-}1, \text{ если } x > 0,\\ &\phantom{-}\text{не определена, если } x = 0. \end{cases} \end{align*}

Или коротко

$$|x|' = \mathrm{sign}\, x \quad \text{ для } x \neq 0. $$

Гляньте похожий топик здесь: http://dxdy.ru/topic60528.html

[Rostislav1]

Хорошо, спасибо за помощь.

[Евгений Машеров]

Квадрат убираем. Выражение под квадратом всегда неотрицательное, и квадрат от неотрицательной величины монотонная функция. Там что минимум его так же, где аргумента. Двойку тоже можно сократить.
Остаётся сумма отклонений абсолютных величин. Можно брать производные, получаются сигнумы, и смотрим, при каких х сумма сигнумов равна нулю. А можно просто мысленно пошевелить х и догадаться, когда сумма абсолютных величин отклонений минимальна. В любом случае медиана.

[svv]

Можно считать, что $a_1\leqslant a_2\leqslant ... \leqslant a_n$.
Пусть $S(x)=|x - a_1| + |x - a_2| + ... + |x - a_n|$
Если $x<a_1$, то можно уменьшить $S$, взяв $x=a_1$ (от этого уменьшится каждое слагаемое). Аналогично, если $x>a_n$, можно уменьшить $S$, взяв $x=a_n$.

Но как только $x$ попадает на отрезок $[a_1, a_n]$, начинает действовать закономерность: сумма двух крайних слагаемых становится константой.
$|x - a_1|+|x - a_n|=x-a_1+a_n-x=a_n-a_1$
Поскольку добавление константы не изменяет место, где минимум, эти два слагаемых можно отбросить, и мы получаем аналогичную задачу для $n-2$ слагаемых, расположенных на меньшем отрезке $[a_2, a_{n-1}]$. Теплее!

Отбрасывая таким образом слагаемые с краев парами, мы в конце концов получим либо одно, либо два самых средних слагаемых, и соответственно либо точку, либо самый внутренний отрезок. Горячо!