Трудности с пределом

[havik]

Всем Здравствуйте. Не могу понять что делать с пределом

$\lim \limits_{n\to\infty}\ |\frac{1}{n}-\frac{2}{n}+\frac{3}{n}-\frac{4}{n}+...+\frac{(-1)^{n-1}\cdot n}{n}|$

Вроде как посчитал пределы подпоследовательностей $\{{x_{n_{2k+1}}}\}$ и $\{{x_{n_{2k}}}\}$. Оба этих частичных предела равны $\frac{1}{2}$.

Возможно ли пользоваться сим фактом и утверждать, что только по этим двум частичным пределам можно судить о пределе всей последовательности?

[arqady]

Сделайте следующее:
- исправьте ошибку в условии (Вы уже успели это сделать! );
- определите правильно подпоследовательности;
- найдите ошибку в вычислении одного из пределов.
Уверяю Вас, после этого всё решится само собой!
Кстати, Ваша знакопеременная сумма сворачивается.

[havik]

arqady в сообщении #729106 писал(а):

Сделайте следующее:
- исправьте ошибку в условии (Вы уже успели это сделать! );
- определите правильно подпоследовательности;
- найдите ошибку в вычислении одного из пределов.
Уверяю Вас, после этого всё решится само собой!
Кстати, Ваша знакопеременная сумма сворачивается.

в том то и дело, что ошибки нет. Предел точно равен $\frac{1}{2}$ или я чего-то не понимаю. Вот если бы не было модуля в условии, то тогда бы предел не существовал и это просто бы доказывалось. Но из-за наличия этого модуля я не понимаю что делать, какую подпоследовательность не возьми, она будет сходится к $\frac{1}{2}$, но я же не могу ссылаться на конечное количество частичных пределов, чтобы сделать вывод о значении предела.

[arqady]

Модуль я не заметил! Тогда сворачивайте сумму под модулем.
По двум подпоследовательностям нельзя, конечно, делать заключение, что предел $\frac{1}{2}$, но ответ у Вас правильный.

[TOTAL]

havik в сообщении #729112 писал(а):

Но из-за наличия этого модуля я не понимаю что делать

Сумму внутри модуля найдите.

[havik]

TOTAL в сообщении #729121 писал(а):

havik в сообщении #729112 писал(а):

Но из-за наличия этого модуля я не понимаю что делать

Сумму внутри модуля найдите.

насчет сворачивания подобных сумм мои знания ограничиваются лишь геометрическими и арифметическими прогрессиями.

Все что смог $\frac{1}{n}-\frac{2}{n}+\frac{3}{n}-\frac{4}{n}+...+\frac{(-1)^{n-1}\cdot n}{n}=\frac{1-2+3-4+...+(2n-1)-2n}{n}=\frac{(1+3+5+...+(2n-1))-(2+4+...+2n)}{n}=\frac{\frac{1+(2n-1)}{2}\cdot\frac{n}{2}-\frac{2+2n}{2}\cdot\frac{n}{2}}{n}}=\frac{{n}^2-n(n+1)}{2n}=-\frac{1}{2}$
Что не может быть правильно.

[Otta]

havik в сообщении #729098 писал(а):

Возможно ли пользоваться сим фактом и утверждать, что только по этим двум частичным пределам можно судить о пределе всей последовательности?

Оно, конечно, нельзя, но почему бы не вычислить верхний и нижний пределы последовательности, которые как раз будут совпадать с пределами Ваших подпоследовательностей.

Ну, или теорема о двух милиционерах, как вариант.

[arqady]

havik в сообщении #729152 писал(а):

насчет сворачивания подобных сумм мои знания ограничиваются лишь геометрическими и арифметическими прогрессиями.

Тогда Вы легко посчитаете следующую производную.
$(x+x^2+x^3+...+x^n)'$

[havik]

Otta в сообщении #729159 писал(а):

havik в сообщении #729098 писал(а):

Возможно ли пользоваться сим фактом и утверждать, что только по этим двум частичным пределам можно судить о пределе всей последовательности?

Оно, конечно, нельзя, но почему бы не вычислить верхний и нижний пределы последовательности, которые как раз будут совпадать с пределами Ваших подпоследовательностей.

Ну, или теорема о двух милиционерах, как вариант.

А как доказать, что посчитанные частичные пределы являются нижним или верхним?

arqady

$(x+x^{2}+x^{3}+...+x^{n})'=(\frac{x(x^{n}-1)}{x-1})'=\frac{(x^{n}(1+n)-1)(x-1)-x(x^{n}-1)}{(x-1)^{2}}$ как то так, правда я не знаком со связью геометрической прогрессии и производной.

[Otta]

havik в сообщении #729175 писал(а):

А как доказать, что посчитанные частичные пределы являются нижним или верхним?

Да Вы просто по определению их считайте.

[arqady]

havik, теперь подумайте, что надо подставить вместо $x$, чтобы почти получить сумму под модулем?

[havik]

arqady в сообщении #729184 писал(а):

havik, теперь подумайте, что надо подставить вместо $x$, чтобы почти получить сумму под модулем?

к сожалению не совсем понимаю что нужно подставить чтобы получить бесконечную сумму, сделал несколько попыток подставив $x=0,1,-1,1/n$ но это естественно ни к чему не привело

[Otta]

arqady

(Оффтоп)

Ваше предложение интересно, конечно, но это один из первых номеров Демидовича, 12-й, что ли, или около того. Не думаю, что подразумевалось такое решение.

havik
Я, может, плохо выразилась. Поздно уже было. Воспользуйтесь определением верхнего (нижнего) предела. Это недолго. Ну или теоремой о двух милиционерах. По сути, тут это одно и то же. Хотя и идея arqady неплоха. Если ее разглядеть. Только, имхо, дюже тяжеловесна для такой хрупкой задачи. :)

[bot]

Какие иксы, какие производные? Всего делов - сгруппировать попарно плюс с минусом и шут с ней с одной энной в нечётном случае.

[Otta]

bot в сообщении #729318 писал(а):

Какие иксы, какие производные? Всего делов - сгруппировать попарно плюс с минусом и шут с ней с одной энной в нечётном случае.

bot
ТС так и делает. Его смущает формальное обоснование: вправе ли он по двум частичным пределам делать вывод о пределе последовательности. И хотя здесь это так, формально, конечно, не вправе. Вот примерно о том, как ему соблюсти все формальности, и идет разговор.

-- 28.05.2013, 08:17 --

PS А вообще на ровном месте разговор. По четным предел есть, по нечетным есть и такой же. Два определения предела для подпоследовательностей выписываем, для основной последовательности по определению тут же получается. Это уж если очень хоцца формальной строгости.