Демпфирование

[Xbaaf]

Нужно найти управление, оптимальное в смысле демпфирования, для следующей функции:

(1) $\dot x = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 3 & -7 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}u , |u| \leq 3, V = {3x_1}^2+5{x_2}^2$

Схема следующая:
1. Находим функцию $W(t,x,u) = \frac{dV}{dt}|_{(1)}$ - производную в силу системы.
Она в нашем случае равна $W = -6{x_1}^2-70{x_2}^2+42x_1x_2+6x_1u+20x_2u$
2. Минимизируем нашу $W(t,x,u)$ по $u$.
А именно - делаем её минимальной, а точнее делаем так, чтобы она была меньше нуля.
$W(t,x,u)$ имеет две части: $W = -6{x_1}^2-70{x_2}^2+42x_1x_2$ - квадратичную форму, которая отрицательно определена (по критерию Сильвестра), и $6x_1u+20x_2u$, которое зависит от $u$ и которое надо минимизировать.
Если $x_1 >0, x_2 >0$, мы полагаем $u=-3$, если $x_1 <0, x_2 <0$, мы полагаем $u=+3$, а вот когда $x_1 >0, x_2 <0$, я не понимаю, что делать.


Дополнительное сведение: если бы было $W(t,x,u)=uf(x), |u|<\xi$, для минимизации достаточно было бы положить $u = -\xi Sgn(f(x))$. Но в нашем случае $f=f(x_1,x_2)$

Ещё дополнительное сведение: у Зубова в "Лекциях по теории управления" сказано, что $W = -x^2+(\operatorname{grad} V, Bu), |u_j| \leq 1, j=1,..,r$, и оптимальное в смысле демпфирования управление строится в случае таком, как выше, как $u_j^0 = -Sgn(B_j^*, \operatorname{grad}V), j=1,..,r$ , но как этим воспользоваться, тоже пока не ясно.