СТО, интервал.

[Euler7]

Что-то я совсем запутался в творении Альберта...
Измеряем расстояние в метрах, а время в метрах делённых на скорость света. Пусть частица $a$ летит по прямой к фотону $b$ со скоростью 1/2. Соответственно фотон летит навстречу со скоростью 1. Расстояние между ними на начало опыта равно одному метру. Чему равен интервал до столкновения фотона с частицей?
Переходим в систему отсчёта частицы. По её измерениям расстояние до фотона должно быть $\sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Поскольку скорость фотона равна единице, то интервал будет $s^2=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-0^2\to\frac{\sqrt{3}}{2}$.
А в лаборатории - относительная скорость частиц 1.5, значит встретятся они через $2/3$ метра времени. Значит частица пройдёт $\frac23\cdot\frac12=\frac13$ метра. Итого интервал равен: $s^2=\left(\frac23\right)^2-\left(\frac13\right)^2\to s=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Где я теперь накосячил ?

[Annomonoy_s]

Цитата:

Что-то я совсем запутался в творении Альберта...

не вы первый

Цитата:

Измеряем расстояние в метрах, а время в метрах делённых на скорость света.

вы хотели сказать в секундах деленных на скорость света?

Цитата:

Поскольку скорость фотона равна единице, то интервал будет $s^2=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-0^2\to\frac{\sqrt{3}}{2}$.

нет, время столкновения не равно расстоянию до фотона в СО частицы, тк фотон начал двигаться с более близкого расстояния, соответственно интервал будет меньше, у вас получившегося

Цитата:

А в лаборатории - относительная скорость частиц 1.5, значит встретятся они через $2/3$ метра времени. Значит частица пройдёт $\frac23\cdot\frac12=\frac13$ метра. Итого интервал равен: $s^2=\left(\frac23\right)^2-\left(\frac13\right)^2\to s=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

здесь все правильно
Где я теперь накосячил ?[/quote]

[Nemiroff]

Euler7 в сообщении #728712 писал(а):

Чему равен интервал до столкновения фотона с частицей?

Интервал между чем и чем вы хотите посчитать?

Euler7 в сообщении #728712 писал(а):

А в лаборатории - относительная скорость частиц 1.5, значит встретятся они через $2/3$ метра времени.

Понятно, что вы хотели сказать, но так лучше не говорить.

[Утундрий]

Картинка прояснила бы многое, но для этого её надобно как минимум нарисовать.

[Annomonoy_s]

я могу нарисовать!
но не художник

-- 26.05.2013, 23:05 --

Цитата:

нет, время столкновения не равно расстоянию до фотона в СО частицы, тк фотон начал двигаться с более близкого расстояния, соответственно интервал будет меньше, у вас получившегося

точнее расстояния до точки начала движения фотона будет другое

[Euler7]

Annomonoy_s писал(а):

вы хотели сказать в секундах деленных на скорость света?

Нет, кажется именно метры делить на скорость - $time=\frac mc=\frac{m}{3\cdot10^8m/s}=\frac s{3\cdot10^8}$. Т.е. около трёх наносекунд, если по-простому.

Nemiroff в сообщении #728746 писал(а):

Интервал между чем и чем вы хотите посчитать?

Между началом эксперимента и столкновением частицы $a$ с фотоном $b$.

Утундрий писал(а):

Картинка прояснила бы многое, но для этого её надобно как минимум нарисовать.

$a$ и $b$ движутся по прямой друг к другу. В лаборатории расстояние между ними 1 метр, скорость частицы $a$ равна 1/2, а скорость фотона всегда единица.

Annomonoy_s писал(а):

нет, время столкновения не равно расстоянию до фотона в СО частицы, тк фотон начал двигаться с более близкого расстояния, соответственно интервал будет меньше, у вас получившегося

Annomonoy_s писал(а):

точнее расстояния до точки начала движения фотона будет другое

Поясните этот момент пожалуйста.

[Annomonoy_s]

Цитата:

Нет, кажется именно метры делить на скорость - $time=\frac mc=\frac{m}{3\cdot10^8m/s}=\frac s{3\cdot10^8}$. Т.е. около трёх наносекунд, если по-простому.

да-да

Цитата:

$a$ и $b$ движутся по прямой друг к другу. В лаборатории расстояние между ними 1 метр, скорость частицы $a$ равна 1/2, а скорость фотона всегда единица.

- имели ввиду пространственно-временную картинку

Цитата:

Поясните этот момент пожалуйста.

единицы расстояния(метры) действительно сокращаются при переходе в ИСО частицы, но вот ИСО, где родился фотон, движется относительно нашей частицы
так вот, расстояние то оно сократится, но и сместится на определенную величину, в силу относительности одновременности

[Euler7]

Annomonoy_s в сообщении #728799 писал(а):

- имели ввиду пространственно-временную картинку

Annomonoy_s в сообщении #728799 писал(а):

единицы расстояния(метры) действительно сокращаются при переходе в ИСО частицы, но вот ИСО, где родился фотон, движется относительно нашей частицы
так вот, расстояние то оно сократится, но и сместится на определенную величину, в силу относительности одновременности

Сильно, но пока не совсем понятно. Раз там что-то сместится, то считаю в координатах, благо их всего две:
матрица перехода: $\left(\begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{1-\text{v}^2}} & \frac{\text{v}}{\sqrt{1-\text{v}^2}} \\ \frac{\text{v}}{\sqrt{1-\text{v}^2}} & \frac{1}{\sqrt{1-\text{v}^2}} \\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} \frac{2}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{2}{\sqrt{3}} \\\end{array}\right)$
$(0,0)\to(0,0)$ (ну хоть тут без сюрпризов )
$(0,1)\to\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{2}{\sqrt{3}}\right)$
Получается, что сейчас мы наблюдаем фотон там, где частица его увидит через $\frac{1}{\sqrt{3}}$ метров времени. Получается, что частице нужно сначала пролететь $\frac{1}{\sqrt{3}}$ метров времени и тогда на удалении в $\frac{2}{\sqrt{3}}$ появится фотон, а значит это бредэто вообще не похоже на правду...

[oleg_2]

Nemiroff post728746.html#p728746 писал(а):

Интервал между чем и чем вы хотите посчитать?

Euler7 post728781.html#p728781 писал(а):

Между началом эксперимента и столкновением частицы $a$ с фотоном $b$.

Я умею только интервал между двумя событиями. Можно, например, вычислить
интервал между событиями А и С на рис. 1.
Черные оси лабораторные, сиреневые - частица, желтая - фотон.
А - частица пролетела мимо начала лабораторной ИСО
B - фотон вылетел из источника
С - частица и фотон встретились.
Я как будто решил эту задачу. У Вас ошибка - малое для неподвижной ИСО
на самом деле большое. Надо вместо формулы сокращения длины применить
формулу преобразований Лоренца
$\beta$ -скорость частицы и штриховнной ИСО.
Индексы соответствуют событиям.
$x_B'=\frac{x_B-\beta t_B}{\sqrt{1-\beta^2}}$
$t_B'=\frac{t_B-\beta x_B}{\sqrt{1-\beta^2}}$

На рисунке видно, что в штрихованной ИСО фотон не только пролетает иное
расстояние между событиями B и С, так он еще и в другой момент времени
начинает его пролетать.
Я вычислил интервал А-С сложив $t_B'$ и $x_B'$.
$t_C'=t_B'+x_B'$ ($t_B'$ сминусом получилось);
$(s_{AC}')^2=(t_C')^2$
У меня штрихованный и нештрихованный интервалы совпали, это обнадеживает.

[Euler7]

Спасибо, понял основную ошибку.

oleg_2 в сообщении #728822 писал(а):

Я вычислил интервал А-С сложив $t_B'$ и $x_B'$.
$t_C'=t_B'+x_B'$ ($t_B'$ сминусом получилось);

Вот этот вот момент совершенно не ясен. Складываются координаты события $B$ и получается интервал между $A$ и $C$
Если перевести событие $C$ в координаты частицы и по определению посчитать интервал между $A$ и $C$, то всё сходится. Но хотелось бы рассчитать всё в системе частицы(т.е. из начальных условий о $A$ и $B$ найти $C$).

[rustot]

второе событие вы определяете четко, момент столкновения в одной точке в один момент времени

а что является первым событием? например "частица находится в точке x" может быть таким событием а вот "частица находится в точке x а фотон в точке y", не может, это удаленные события и их одновременность зависит от выбора системы отсчета. если вы выберете за первое событие "частица находится в точке x" то одновременное с ним положение фотона в двух системах отсчета будет разным

[Euler7]

rustot в сообщении #728912 писал(а):

а что является первым событием?

Да, эту ошибку я понял. oleg_2 верно предположил, первое событие - это пролёт частицы $a$ мимо начала координат лабораторной системы отсчёты.

[oleg_2]

Euler7 писал(а):

Складываются координаты события $B$ и получается интервал между $A$ и $C$

Получается временная координата события C, случайно равная интервалу А-С.
$x_B'$ -время полета фотона, по-моему Вы сами это тоже использовали.
$t_B'$ -время, когда начался этот полет фотона (не с нуля, как в ИСО лаборатории).
Вот я и сложил эти два времени.

Euler7 писал(а):

Если перевести событие $C$ в координаты частицы и по определению посчитать интервал
между $A$ и $C$, то всё сходится. Но хотелось бы рассчитать всё в системе частицы
(т.е. из начальных условий о $A$ и $B$ найти $C$).

Вы уже вольно или невольно нашли интервал А-С, только не указали явно на это:

Euler7 писал(а):

$s^2=\left(\frac23\right)^2-\left(\frac13\right)^2\to s=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Я перевел координаты событий А и В в штрихованную ИСО по Лоренцу и решил
в штрихованных координатах ($t_C'=t_B'+x_B'$). Получил результат как и Ваш.
Врде бы это и есть то, что Вы хотите.

[Munin]

Euler7 в сообщении #728909 писал(а):

oleg_2 в сообщении #728822 писал(а):

Я вычислил интервал А-С сложив $t_B'$ и $x_B'$.
$t_C'=t_B'+x_B'$ ($t_B'$ сминусом получилось);

Вот этот вот момент совершенно не ясен. Складываются координаты события $B$ и получается интервал между $A$ и $C$ :?:

Представьте себе график в координатах $(x',t').$ В этих координатах линия света - прямая. Эту прямую можно записать двумя способами: проведя её через точку $B$
$t'(x')=t'_B-(x'-x'_B)$
и через точку $C$
$t'(x')=t'_C-x'$
Поскольку это одна и та же прямая, то обе формулы можно приравнять, откуда и будет
$t'_B-x'+x'_B=t'_C-x'$
$t'_B+x'_B=t'_C$

А второй момент очевидный: $t'_C$ - это и есть интервал между $A$ и $C,$ по построению штрихованной системы координат.

[Euler7]

Благодарю, вроде разобрался. Фотон всегда летит по прямой под углом $45\textdegree$ к оси ординат. В следующий раз сразу буду делать чертежи .