Интеграл от бесконечно малой функции.

[Kroshik]

Добрый вечер.
Меня вот что очень интересует:
Допустим, имеется функция $f(x)+o(x).$ Интегрируем её на отрезке $[a,b]$.
как поступать с $f(x)$-очевидно. А вот что происходит с $o(x)$? Понятно, что все обращается в ноль. Но точно, почему это так?
)
p.s В оформлении могла насвинячить. Говорите сразу. Исправлю.)))

Deggial:

Цитата:

В оформлении могла насвинячить. Говорите сразу. Исправлю.)))

говорю: все формулы оформляйте $\TeX$ом. Сейчас я пока сам поправил.

[Otta]

Постановка задачи какая-то дурная. $O(x)$ при какой базе? И какое отношение к ней имеет отрезок?
В любом случае, свойство функции быть "о большим" локальное.

[Kroshik]

Вполне возможно, что я неточно выразилась. Переформулирую:
$$$ \int_{a}^{b} (f(x) +o(x^n)) dx $
Имеется такой интеграл. При его вычислении что происходит с $o(x^n)$?
Что такое база, я не понимаю... Можно попроще, если вас не затруднит. Я на первом курсе.)

[Otta]

Kroshik в сообщении #728682 писал(а):

Что такое база, я не понимаю... Можно попроще, если вас не затруднит. Я на первом курсе.)

:) Попроще. Кто куда стремится.
Теперь лучше. Ну и пишите определение Вашего $O(x^n)$. Что-то увидите. Хотя немного.

Вполне возможно, что сказать можно больше, если больше известно про отрезок. "Понятно, что все стремится к нулю" - это из текста следует? Тогда в тексте написано больше, чем Вы сказали.

И еще смущает Ваш заголовок. Вы не путаете "о большое" с "о маленьким"? Какое оно в оригинале?

[Kroshik]

$ f $ является « $o$ » малым от $g$ при $x\to x_0$, если для любого $\varepsilon>0 $ найдется такая проколотая окрестность $ U_{x_0}'$ точки $x_0$, что для всех $x\in U_{x_0}'$ имеет место неравенство
$|f(x)| < \varepsilon |g(x)|$.
Только как это применить к интегралу, и показать, что $\int_{a}^{b}(o(x^n)dx)=0$ ?

-- 26.05.2013, 21:04 --

c $o$ малым написала не так. немного непривычно формулы набирать)

[Otta]

Kroshik в сообщении #728699 писал(а):

$ f $ является « $o$ » малым от $g$ при $x\to x_0$,

Хорошо. Так и кто же куда у Вас стремится? Разберитесь с этим, Вам же понадобится очень конкретное определение. Именно вот это место важно сейчас: при $x\to x_0$.

[Kroshik]

$x\to 0$ ,потому что интеграл по $dx$
$\int_{a}^{b}(o(x^n)dx)=0$
(если я ничего не путаю)

[Otta]

Kroshik в сообщении #728705 писал(а):

$x\to 0$ ,потому что интеграл по $dx$
$\int_{a}^{b}(o(x^n)dx)=0$
(если я ничего не путаю)

Вы все путаете. Почему $x$ и почему к нулю? Во-первых, где меняется $x$, а во-вторых, какое ноль имеет отношение к отрезку $[a,b]$. В-третьих я Вам уже писала в самом первом своем ответе Вам: свойство функции икса быть о малым локальное, то есть никак не может распространяться на весь отрезок..

Давайте проще. Пусть все будет как Вы хотите. Верно ли, что
1) $x^2=o(x)$ при $x\to 0$?
2) Верно ли, что то же про функцию $x^2$ можно сказать на всем отрезке $[1,2]$?
3) И наконец, верно ли, что интеграл от этой функции по этому отрезку нулевой?

[Kroshik]

Тогда вот так. )
У меня $x\to0$. И интеграл:
$\int_{0}^{a}(x\cdot o(x^n)dx)=a^2$
Изначально это была физическая задача, где суммировались отрезки от $0$ до $a$

[Otta]

Kroshik
Дык хрен редьки не слаще. Свойство функции быть бесконечно малой по отношению к другой выполнено лишь при малых $x$, если Вам верить. А что она там делает при близких к правому концу отрезка, посередине его и т.д. - этого Вы, получается, не знаете. И вообще, она равна 1/2, при условии ее непрерывности. Нет? ;) Осознайте, что Вам нужно на самом деле. Совет: начните с того, при каких $n$ Вы хотите, чтобы выполнялось Ваше равенство.

[Kroshik]

$n=2$. интегральная сумма изначально имела такой вид:
$\sum_{n=0}^{a}\(x^2\cdot\Delta(x)+o(x^2))$
и получился интеграл:
$\int_{0}^{a}(x+ o(x^2)dx)=a^2$

[Otta]

Kroshik в сообщении #728727 писал(а):

$n=2$. интегральная сумма изначально имела такой вид:
$\sum_{n=0}^{a}\(x^2\cdot\Delta(x)+o(x^2))$

О боги. Kroshik, я даже не знаю, что на это сказать.
Начнем с того, что то, что Вы написали - не интегральная сумма. Интегральные суммы выглядят иначе.

[Nemiroff]

Kroshik в сообщении #728727 писал(а):

$\sum_{n=0}^{a}\(x^2\cdot\Delta(x)+o(x^2))$

Какой-то ад.
А что индекс $n$ делает, что вообще от него зависит? $a$ целое, хотя бы?

Две принципиальные вещи: '$o$' от чего-нибудь - это характеристика в точке, а не на множестве и $o(x)$ - это не функция, это целое множество функций.

[Kroshik]

$\sum_{i=0}^{n-1}\(x_i^2\cdot\((x_i+1)-(x_i))+o(x^2))$
Так? Или мне бежать читать Фихтенгольца ? А главное, преподаватель не заметил ничего странного....)

[Otta]

Kroshik в сообщении #728732 писал(а):

$\sum_{i=0}^{n-1}x_i^2\cdot\((x_{i+1}-(x_i))+o(x^2))$
Так? Или мне бежать читать Фихтенгольца ? А главное, преподаватель не заметил ничего странного....)

Икс последний что тут делает?

-- 26.05.2013, 23:44 --

(Оффтоп)

Nemiroff в сообщении #728731 писал(а):

'' от чего-нибудь - это характеристика в точке, а не на множестве

Уже раза три сказала, и все никак. ((