Найти сумму ряда

[AlexeyS]

Дайте, пожалуйста наводку, как посчитать
$\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{k+n}$

[bot]

А задача находится в разделе определения интеграла, верно?

[AlexeyS]

bot в сообщении #728310 писал(а):

А задача находится в разделе определения интеграла, верно?

Можно еще подсказка?

[provincialka]

А что такое определенный интеграл?

[AlexeyS]

Кажется, понял. Получается, что $S_n-a_1\le\int_1^n\frac{1}{x+n}dx\le S_{n-1}$ ну и так как $a_1$ - первый член ряда - стремится к нулю, то сумма ряда равна этому интегралу при $n\to\infty$

[Legioner93]

У вас $n$ и в подынтегральной функции, и в пределах интегрирования. Так нельзя.

[Ms-dos4]

Legioner93 в сообщении #728452 писал(а):

У вас $n$ и в подынтегральной функции, и в пределах интегрирования. Так нельзя.

Это ещё почему?
AlexeyS
Берите интеграл и затем предел $\[n \to \infty \]$

[AlexeyS]

Legioner93 в сообщении #728452 писал(а):

У вас $n$ и в подынтегральной функции, и в пределах интегрирования. Так нельзя.

Я этот момент не очень улавливаю. Интегрируем ведь до n и в подынтегральной функции меняем k на х, т.к k пробегает от 1 до n.

[Otta]

AlexeyS в сообщении #728451 писал(а):

Кажется, понял. Получается, что $S_n-a_1\le\int_1^n\frac{1}{x+n}dx\le S_{n-1}$ ну и так как $a_1$ - первый член ряда - стремится к нулю, то сумма ряда равна этому интегралу при $n\to\infty$

1) Это не ряд и даже не частичные суммы ряда.
2) Для того, чтобы воспользоваться Вашим утверждением, надо сперва доказать, что пределы левой и правой частей существуют. Что если они существуют, то совпадают, это Вы объяснили. Если и строить подобную конструкцию, то уж наоборот, сумму с двух сторон оценивать интегралами.
4) Дюже монументально, задача типовая. Зря Алексей не хочет определение интеграла Римана вспоминать. ;) Алексей, Ваше право, конечно, но не везде удается построить такие роскошные оценки. Это уж больно график хорош, монотонность и все такое.

[Shadow]

Могли рассмотреть сумму площадей прямоугольников с стороной 1 и $f(x)$ для функцию $\frac 1 x$
Один раз от $n \text{ до } 2n$, и один раз от $n+1 \text{ до } 2n+1$
Вопрос вкуса.

[EtCetera]

К чему какие-то прямоугольники, какие-то оценки, когда тут, действительно, определение интеграла просто бросается в глаза:

$$\lim\limits_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{k+n}=\lim\limits_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{\frac{k}{n}+1}\cdot \frac{1}{n}$$

[Otta]

Ну захотелось человеку. Положим.

(Оффтоп)

Хотя, думаю, причина другая.

[Shadow]

К тому, легко и просто доказывается что $\ln\left(2-\dfrac{1}{n+1}\right)<S<\ln(2)$ для любого $n$
А вообще к чему какие-то интегралы, когда еще Эйлер вычислил $H_k \approx \ln(k)+\gamma$, где $\gamma$ - константа

[AlexeyS]

Да, спасибо большое! Вот определение интеграла мне почему-то в глаза не бросилось

[Otta]

(Оффтоп)

Shadow в сообщении #728474 писал(а):

А вообще к чему какие-то интегралы, когда еще Эйлер вычислил $H_k \approx \ln(k)+\gamma$, где $\gamma$ - константа

Ладно, хоть так. )) Чаще можно услышать "... когда есть Maple".
Понятно, что задача учебная, там и с синусами ТС помнится приносил, и воз и ныне там. Ну и куда там гармонические числа бум притыкать? Как и любая учебная задача, она не преследует цель получить результат любой ценой в конкретном случае. У нее другие цели.