1й закон Кирхгофа или о комплексных токах

[phys]

Допустим есть некоторый участок цепи (в данном случае трехфазной).



Как для узла записать первый закон Кирхгофа? Какие значки ставить у токов, вектора или точки (точки для комплексных)? Или верно и то и то?

$ \bar{I}_A = \bar{I}_{AB} - \bar{I}_{CA}$

$ \dot{I}_A = \dot{I}_{AB} - \dot{I}_{CA}$

[warlock66613]

phys в сообщении #727546 писал(а):

Какие значки ставить у токов

Вопрос обозначения. Просто надо понимать что оно значит и понимать, что в разных книгах обозначения могут совпадать, а могут сильно различаться (вплоть до противоположных значений).

[Corund]

Не всегда заранее очевидно направление тока, но в любом случае будет $I_A+I_{AB}+I_{BC}=0$ (Неважно, комплексное выражение или нет, сопоставить знак тока втеканию в узел/вытеканию из узла тоже можно произвольно).

[profrotter]

phys в сообщении #727546 писал(а):

Как для узла записать первый закон Кирхгофа?

1. Записать закон Кирхгофа для мгновенных значений:

$$i_A=i_{AB}-i_{CA}$$

2. Когда токи являются гармоническими одной частоты $\omega$, их можно представить в виде:

$$i_A=\operatorname{Re}\dot{I}_Ae^{j\omega t},$$

$$i_{AB}=\operatorname{Re}\dot{I}_{AB}e^{j\omega t},$$

$$i_{AC}=\operatorname{Re}\dot{I}_{AC}e^{j\omega t},$$

где $\dot{I}_{A}=I_{A}e^{j\varphi_{A}}$, $\dot{I}_{AB}=I_{AB}e^{j\varphi_{AB}}$ $\dot{I}_{AC}=I_{AC}e^{j\varphi_{AC}}$ - комплексные амплитуды токов.
3. Подставим токи в полученном виде в уравнение баланса токов из 1:

$$\operatorname{Re}\dot{I}_Ae^{j\omega t}=\operatorname{Re}\dot{I}_{AB}e^{j\omega t}-\operatorname{Re}\dot{I}_{AC}e^{j\omega t}.$$

Потребуем выполнения более общего равенства (если оно имеет место, то имеет место и записанное):

$$\dot{I}_Ae^{j\omega t}=\dot{I}_{AB}e^{j\omega t}-\dot{I}_{AC}e^{j\omega t},$$

откуда

$$\dot{I}_A=\dot{I}_{AB}-\dot{I}_{AC}.$$

Так записывается уравнение баланса токов в рамках метода комплексных амплитуд. Есть другой метод, в котором токи и напряжения ассоциируются с векторами. С векторами же ассоциируются и комплексные числа. Достоинством такого подхода является возможность графической интерпретации и в ряде простых случаев возможность получить результаты путём графических построений.