Найти главный член функции

[Ankkka]

$f(x)=(2x+3)/\sin(3x), x\mapsto\pi$
Выяснила что все это стремится к бесконечности, сделала замену $y=x-\pi$, пришла снова к бесконечности и запуталась...

[ИСН]

Ну, так и должно быть. Было бы странно, если бы сначала эта штука стремилась к бесконечности, а после замены - прекратила.
А что найти-то надо?

[Ankkka]

Главную часть этой б.б.ф. Т.е. выражение, которому она будет эквивалентна

[provincialka]

Замена в данном случае - вещь полезная. Хорошо преобразовать функцию так, чтобы аргумент стремился к 0: именно для этого случая известно поведение синуса.

Кстати, в числителе можно замену не делать, а сразу заменить его числом (почему ?).

[a_nn]

Используйте вид этой главной части и определение эквивалентных функций.

[Ankkka]

provincialka, а можно вводить замену частично? (я понимаю что в числители при подстановке получается число)

-- Чт май 23, 2013 04:19:44 --

Пытаюсь делать так:
$ x=\pi-y (2\pi+3)/\sin(3\pi-3y)=(2\pi+3)/(\sin(3\pi)\cos(3y)-\sin(3y)\cos(3\pi))=(2\pi+3)/(3y) $

Как быть дальше? Можно ли говорить что $1/3y$ _ главный элемент?

[Ms-dos4]

А не проще разложить в ряд Тейлора в окрестности $\[\pi \]$?
P.S.Точнее это уже даже не Тейлор а Лоран будет.

[Ankkka]

К сожалению, задание на нахождение пределов

[Ms-dos4]

Ankkka
Ну под предлогом эквивалентности всунуть в знаменатель разложение синуса в окрестности $\[\pi \]$. А в числитель сразу число.

[Ankkka]

Когда изучаются пределы, предполагается что разложения еще неизвестны. А если касательно предложенного мною варианта? Он неверен?

[Ms-dos4]

Ankkka
Верен. Только к x обратно вернитесь. И числитель тоже не "выкидывайте"
P.S.Но эквивалентность $\[\sin x \sim x\]$ при $\[x \to 0\]$ всё равно используется

[Ankkka]

Ms-dos4
А как аргументировать, что в числителе не происходит замены?
P.S. Ну $\sin(x)$ - это табличное:)

[provincialka]

Ankkka в сообщении #727216 писал(а):

provincialka, а можно вводить замену частично? (я понимаю что в числители при подстановке получается число)
Пытаюсь делать так: $x=\pi-y$

$(2\pi+3)/\sin(3\pi-3y)=(2\pi+3)/(\sin(3\pi)\cos(3y)-\sin(3y)\cos(3\pi))=(2\pi+3)/(3y)$
Как быть дальше? Можно ли говорить что $1/3y$ главный элемент?

Почти верно. В числителе будет не единица. И нельзя писать равенство в последнем преобразовании, нужно - эквивалентность. Проходили?

И еще: вы знаете формулы приведения? Зачем в таком простом случае использовать синус суммы?

[Ankkka]

provincialka
Спасибо, замечания учла. Но меня все еще смущает отсутствие замены в числителе...

[provincialka]

Ankkka в сообщении #727232 писал(а):

Ms-dos4
А как аргументировать, что в числителе не происходит замены?

С помощью свойств предела. Известно, что сомножители можно заменять на эквивалентные, а $2x +3\sim 2\cdot\pi+3$ при $x\to\pi$