У Хелфготта вылизан метод тригонометрических сумм, с тщательным слежением за всеми константами, так что разложимость в сумму трех простых доказана для нечетных чисел сверх

, что, конечно, много, но астрономически меньше, чем было у Виноградова и последователей.
Параллельно, новые идеи и продвинутая вычислительная техника позволили численно проверить все числа, меньшие

, тем самым все множество нечетных чисел покрыто.
Точнее, Виноградов, 37, доказал представимость для 'достаточно больших чисел', без конкретизации. Бороздин в 39 установил оценку

. В 89 Чен и Ванг снизили оценку до

, a в 2002 Лю и Ванг - до

Еще чуток информации. Из гипотезы Римана следует, что достаточно проверить до

. Соответственно началась программа проверки (но уже бинарной) гипотезы при небольших N.
Проверка представимости четного числа в виде суммы двух простых чисел осуществлена примерно до

с помощью по сути перебора.
Если

нечетное, берем наибольшее простое число

, меньшее

, то достаточно представить четное число

в виде суммы двух простых. Если полученное число не превосходит

, то N представляется в виде суммы трех простых. Доказаны оценки о том, что между

имеется простое число. Соответственно, если

при

получаем, что проверка для трех осуществлена до такой суммы. Иначе пока не хватило бы мощности компьютера для проверки даже до величины

.