Почему [math]$-i\nabla$[/math] это импульс

[Cryo]

Здравствуйте

Я в первый раз пишу на этот форум, такчто извините если что-нибудь не так.

Читаю "Quantum Mechanics: A Modern Development" by Lesli E Ballentine ([url=http://books.google.co.uk/books?id=sHJRFHz1rYsC&pg=PA613&lpg=PA613&dq=irreducible+set+of+operators&source=bl&ots=RoG-PcdhW0&sig=aHEPIclmXdPdQTMBSVpaUe_uSgg&hl=en&sa=X&ei=3n-cUen9CIKW0AWXs4CICQ&ved=0CC4Q6AEwAA#v=onepage&q=irreducible%20set%20of%20operators&f=false]
можно посмотреть здесь[/url]). В третьей главе он выводит правила кинемтики для кванотвых частиц.

Вначале выводятся коммутаторы между десятью генераторами транформаций группы Галилея.
$P_\alpha$ - генератор смещений в пространстве
$G_\alpha$ - генератор изменения скорости
$J_\alpha$ - генератор вращений
$H$ - генератор трансляции во времени

$[P_\alpha,P_\beta]=0, \quad [G_\alpha,G_\beta]=0, \quad [J_\alpha, \{J_\beta,G_\beta,P_\beta\}]=i\varepsilon_{\alpha\beta\gamma}\{J_\gamma,G_\gamma,P_\gamma\}, \quad [H,\{J_\alpha,P_\alpha\}]=0, \quad [G_\alpha,H]=iP_\alpha, \quad [G_\alpha,P_\beta]=i\delta_{\alpha,\beta}MI $

Где $M$-это константа а $I$ - это единичный оператор

NB!
Хоть символы выбранные для генераторов и подобраны чтобы совпадать с общепринятой нотацией, на этой стадии это просто генераторы (тоесть $\vec{P}$ - не импульс а $H$ - не Гамильтониан).

После этого вводится оператор позиции частицы ($Q$) и получаются коммутаторы этого оператора с десятю генераторами. Коммутатор с $H$ получается из $\partial_t <\vec{Q}> = <\vec{V}>$ $\rightarrow$ $V_\alpha=i[H,Q_\alpha]$. Где $V_\alpha$ это оператор скорости.

Во всех остальных коммутаторах $ \vec{Q}$ ведёт себя как $\vec{G}$. Этого конечно не достаточно чтобы приравнять эти два оператора, но автор подмечает что оператор $\vec{G}-M\vec{Q}$ коммутирует и с $\vec{Q}$ и с $\vec{P}$ (и с $\vec{G}$).

Теперь автор переходит к рассмотрению кинематики свободной частицы без полей и без 'internal degrees of freedom' (не знаю верный перевод). И на основе этого делает вывод что ${\vec{Q}, \vec{P}} $ образуют 'irreducible set', так что если какой-либо оператор коммутирует с этими двумя членами set'а то этот оператор равен единичному оператору помноженному на произвольную константу (Schur's Lemma).

ВОТ ЭТО ШАГ мне и не ясен. Почему 'irreducible set'? Почему именно эти операторы?

Большое спасибо за помощь.

PS: После этого автор может сделать вывод что $\vec{G}-M\vec{Q}=const \cdot I$, ну а там уже понятно.

PPS:Сам подход (по признанию автора) основан на статье T. F. Jordan, "Why is $-i\nabla$ the momentum", Am. J. Phys. 43, p 1089 (1975). Статью посмотрел, но это мало помогло.

[warlock66613]

Cryo в сообщении #727025 писал(а):

internal degrees of freedom' (не знаю верный перевод)

Так и будет - внутренние степени свободы.

[vanger]

Cryo в сообщении #727025 писал(а):

И на основе этого делает вывод что ${\vec{Q}, \vec{P}} $ образуют 'irreducible set', так что если какой-либо оператор коммутирует с этими двумя членами set'а то этот оператор равен единичному оператору помноженному на произвольную константу (Schur's Lemma).

ВОТ ЭТО ШАГ мне и не ясен. Почему 'irreducible set'? Почему именно эти операторы?

Irreducible set -- неприводимое множество (операторов). Им автор называет набор операторов, замкнутый относительно сопряжения, оставляющий на месте некоторое собственное(не ноль и не всё) подпространство состояний. Лемма Шура(Schur's lemma) утверждает, что набор операторов неприводим тогда и только тогда, когда всякий оператор, коммутирующий со всеми операторами из множества, -- умножение на скаляр. Вот координата и импульс образуют неприводимое множество, если рассматривается частица без внутренних степеней свободы.