Последовательность допустимых разбиений.

[provincialka]

Ms-dos, мы вроде общими усилиями придумали такую функцию.

[Ms-dos4]

provincialka в сообщении #726177 писал(а):

Ms-dos, мы вроде общими усилиями придумали такую функцию.

И что, с $\[\sqrt x \cos \frac{1}{x}\]$ действительно получается? У меня там смутное ощущение по поводу выбранного разбиения. Оно не полностью покрывает интервал (т.е. самая крайняя точка не 1).

[3.14]

Я тут прочитал..Спасибо всем..В примере про $\sqrt{x} \cos(1/x)$ смущают разбиения..Я не понял почему диаметр стремится к 0.

[provincialka]

В каждом разбиении отрезки короче $1/n$

[3.14]

Оказывается верно такое утверждение : можно привести пример такой функции $f(x) \in C[0,1]$, что для $\forall$ $\alpha \in [0, +\infty]$ $\exists$ последовательность допустимых разбиений $\left\{ T_n^\alpha \right\}$ : $Q_{\left\{ T_n^\alpha \right\}}(f) = \alpha$. Сказали, что такая функция имеет вид : $x^a (\sin(x))^b$. Причем, вроде, $a < 0 $ и $ b < 0$. Т. е. мне уже известен вид функции. Остается проблема с разбиением. Было бы неплохо доказать это утверждение..Не получается пока..Может кто что-нибудь подметить или покажет.

[Ms-dos4]

Если $\[a,b < 0\]$, то такая функция не непрерывна на $\[[0,1]\]$. Она будет непрерывна лишь в таких случаях
$\[\begin{array}{l} a \ge 0,b \ge 0\\ a < 0,b > 0,b \ge a\\ a > 0,b < 0,a \ge b \end{array}\]$

[provincialka]

Вид функции смущает. Все-таки степень $b$ должна быть внутри синуса, чтобы было бесконечное число колебаний. А если $a<0$, не будет непрерывности в 0.

Вот простое рассуждение. Пусть на отрезке $[a;b]$ производная по модулю не превосходит $L$. Разобьем его на части длиной $\delta$, вариация на каждом по модулю не превосходит $L\delta$, а сумма квадратов не больше $(L\delta)^2\frac{b-a}{\delta}=L^2\delta(b-a)$. Как вы видите, при условии ограниченности производной квадратичную вариацию можно устремить к 0. Правда, это еще не означает, что такое стремление будет обязательно.

-- 21.05.2013, 22:01 --

Подумала еще. В предыдущем утверждении использовалось то, что все отрезки разбиения равны,тогда их не более $\frac{b-a}{\delta}$, но вообще-то некоторые отрезки могут быть короче, тогда их будет больше. Но это можно обойти.

Квадратичная вариация не превосходит $L^2\sum (\Delta t_i)^2$. Пусть длина каждого отрезка меньше $\delta$. Будем добавлять к первому отрезку следующие, пока сумма длин не станет больше $\delta$ (но меньше, конечно, $2\delta$). Сумма квадратов длин в такой группе будет самой большой, если все они представляют собой один отрезок.

Итак, сумма квадратов длин не превосходит $(2\delta)^2\frac{b-a}{\delta}=4(b-a)\delta$. Значит, эта сумма стремится к 0 при $\delta\to0$

[a_nn]

Ну если производная не превосходит, тогда конечно....
Но в первом примере все-таки одно из ключевых мест занимала борьба с неограниченностью производной.

-- 21.05.2013, 22:35 --

Ну и, наверное, все-таки действительно имеется в виду $a>0, b<0$.

[Ms-dos4]

provincialka
Да, но что с бесконечной вариацией?
Я до сих пор считаю, что если у функции не будет бесконечного числа биений на всем отрезке (причём нужно, что бы биения замостили ВЕСЬ интервал), ничего не выйдет. Т.е. при функции вида $\[f(x)\sin [kx]\]$, я не вижу как обойтись без $\[k \to \infty \]$, причём ещё с условием, что бы $\[f(x)\]$ монотонно возрастала с достаточной скоростью.

[a_nn]

Что значит "биения замостили весь интервал"? С $\sqrt x \cos{1/x}$ получилось же. Или это считается "весь"?

[Ms-dos4]

a_nn
Там мне не нравится разбиение. Мы выбираем в случае 0-ой вариации нули, а в случае бесконечной - локальные максимумы. Но если биения будут не на всём интервале, у вас правая граница будет не в 1-це, а раньше. Для функции $\[\sqrt x \cos \frac{1}{x}\]$ например последний ноль на интервале находится в точке $\[x = \frac{2}{\pi }\]$

[a_nn]

Там не надо брать все нули. Только те, между которыми расстояния меньше $1/n$. А дальше - другие рассуждения.
(иначе конечно ничего не выйдет, надо же мелкость к нулю устремлять).

[Ms-dos4]

a_nn
Ага, т.е. там с $\[\frac{1}{{{n^2}}}\]$ получился 0?