Простите, переформулирую вопрос, возможно ли

записать в виде некой функции что-ли, так как если раскрывать, то получится

или

является коечным ответом?
Формально говоря, и исходное задание суммы и оба Ваших выражения - функции от

. Обычно в таких задачах спрашивают о замкнутом виде формулы, т.е. о равной формуле, содержащей лишь конечное число сложений, умножений и биномиальных коэффициентов. Вы просто должны упростить выражение. Исходное выражение - однократная сумма, полученное Вами - тоже однократная сумма, так что выражение Вы не упростили полностью, а пока только преобразовали (хотя биномиальных коэффициентов внутри суммы стало меньше, так что все-таки сумму немного упростили).
Сумму

можно выразить в замкнутом виде, для выражения достаточно лишь индукции и основного тождества

. Попробуйте.